Κλασικό πρόβλημα στα κλάσματα!

#1

Τέσσερις φίλοι που τραγούδησαν τα κάλαντα μοιράζονται ένα ποσό ως εξής. Ο πρώτος παίρνει τα $\frac {3}{7}$ του ποσού, ο δεύτερος τα $\frac {5}{8}$ του υπολοίπου, ο τρίτος το $\frac {1}{3}$ του νέου υπολοίπου και ο τέταρτος τα υπόλοιπα χρήματα.
Αν ο δεύτερος πήρε 75 ευρώ περισσότερα από τον τέταρτο, πόσα χρήματα πήρε ο καθένας ;

Μπάμπης

Σχόλιο :
Επειδή η δική μας σκέψη τρέχει .....στις εξισώσεις, ας προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε το πρόβλημα με όσο πιο απλές λύσεις γίνεται !

dimgiann · #2

Ο πρώτος φίλος πήρε $\frac{3}{7}$ του ποσού άρα υπόλοιπο $\frac{4}{7}$ . Ο δεύτερος πήρε 5/8 του υπολοίπου άρα $\frac{5}{8}$ $\frac{4}{7}$ = $\frac{5}{14}$ του αρχικού ποσού. Οπότε τα $\frac{5}{14}$ του αρχικού ποσού είναι 75 ευρώ άρα το 1/14 είναι 75:5=15 ευρώ. Ολόκληρο το ποσό είναι 210 ευρω. Τώρα είναι ευκολο να υπολογίσουμε το ποσό που πήρα ο καθένας.
Δημήτρης Γ.

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Τέσσερις φίλοι που τραγούδησαν τα κάλαντα μοιράζονται ένα ποσό ως εξής. Ο πρώτος παίρνει τα $\frac {3}{7}$ του ποσού, ο δεύτερος τα $\frac {5}{8}$ του υπολοίπου, ο τρίτος το $\frac {1}{3}$ του νέου υπολοίπου και ο τέταρτος τα υπόλοιπα χρήματα.
Αν ο δεύτερος πήρε 75 ευρώ περισσότερα από τον τέταρτο, πόσα χρήματα πήρε ο καθένας ;

Μπάμπης

Σχόλιο :
Επειδή η δική μας σκέψη τρέχει .....στις εξισώσεις, ας προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε το πρόβλημα με όσο πιο απλές λύσεις γίνεται !

Αν και σύμφωνα με την επικρατούσα διδακτική αντίληψη: "Η Άλγεβρα είναι ένα εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων", ας προσπαθήσουμε δίχως εξισώσεις:

Ο Α πήρε τα $\displaystyle \frac{6}{{14}}$ του ποσού. Έμειναν τα $\displaystyle \frac{8}{{14}}$ του ποσού.

Ο Β πήρε τα $\displaystyle \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{{14}} = \frac{5}{{14}}$ του ποσού. Έμειναν τα $\displaystyle \frac{3}{{14}}$ του ποσού.

Ο Γ πήρε το $\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{{14}} = \frac{1}{{14}}$ του ποσού. Έμειναν τα $\displaystyle \frac{2}{{14}}$ του ποσού, που τα πήρε ο Δ.

Το ποσό του Β είναι κατά 75 ευρώ μεγαλύτερο του ποσού του Δ.

Η διαφορά τους είναι τα $\displaystyle \frac{5}{{14}} - \frac{2}{{14}} = \frac{3}{{14}}$ του ποσού.

Τα $\displaystyle \frac{3}{{14}}$ του ποσού είναι 75 ευρώ, άρα το $\displaystyle \frac{1}{{14}}$ του ποσού είναι 75 : 3 = 25 ευρώ, οπότε το ποσό είναι 14•25 =350 ευρώ.

Πήραν:
$\displaystyle \begin{array}{l} A = \frac{6}{{14}} \cdot 350 = 150,\;\;B = \frac{5}{{14}} \cdot 350 = 125 \\ \\ \Gamma = \frac{1}{{14}} \cdot 350 = 25,\;\;\Delta = \frac{2}{{14}} \cdot 350 = 50 \\ \end{array}$

Άδικο, Μπάμπη, άδικο.... Οι Γ και Δ τι είναι; Ανειδίκευτοι κανταδόροι;

Γιώργος Ρίζος

ΣΧΟΛΙΟ: Για να πούμε "και του στραβού το δίκιο", το μόνο που αλλάζει σε σχέση με την αλγεβρική επίλυση είναι ότι αντί για "x" γράφω "ποσό". Πολύ κακό για το τίποτα.
Υπάρχει άραγε πρακτική λύση που να μην είναι μεταμφιεσμένη αλγεβρική;

dimgiann · #4

Μια βιαστική ανάγνωση του προβλήματος με οδήγησε να απαντήσω σε άλλο ερώτημα. (ο δεύτερος φίλος πήρε 75 ευρώ και όχι 75 ευρώ περισσότερα από τον τέταρτο όπως ήταν η σωστή διατύπωση!!).
Ευχαριστώ για την παρέμβαση του συναδέλφου Γιώργου Ρίζου
Δημήτρης Γ.

7apostolis · #5

Καλημέρα,
μια άλλη μέθοδος για αυτά αλλά και πολλά άλλα παρόμοια προβλήματα είναι η
μέθοδος της ψευδούς υπόθεσης από την πρακτική αριθμητική που διδασκόμασταν πολύ παλιότερα στο δημοτικό!
Έστω ότι είχε 700€ αρχικά. Τότε ο πρώτος θα έπαιρνε 300€, ο δεύτερος 250€, ο τρίτος 50€ και ο τέταρτος 100€. Άρα ο δεύτερος θα είχε 150€ περισσότερα του τέταρτου.
Αν λοιπόν είχε 700€ αρχικά τα παραπάνω χρήματα θα ήταν 150€
Είναι όμως 75€, άρα αρχικό ποσό 350€ (απλή μέθοδος των τριών)....κλπ

Αποστόλης

#6

7apostolis έγραψε:Καλημέρα,
μια άλλη μέθοδος για αυτά αλλά και πολλά άλλα παρόμοια προβλήματα είναι η
μέθοδος της ψευδούς υπόθεσης από την πρακτική αριθμητική που διδασκόμασταν πολύ παλιότερα στο δημοτικό!
Έστω ότι είχε 700€ αρχικά. Τότε ο πρώτος θα έπαιρνε 300€, ο δεύτερος 250€, ο τρίτος 50€ και ο τέταρτος 100€. Άρα ο δεύτερος θα είχε 150€ περισσότερα του τέταρτου.
Αν λοιπόν είχε 700€ αρχικά τα παραπάνω χρήματα θα ήταν 150€
Είναι όμως 75€, άρα αρχικό ποσό 350€ (απλή μέθοδος των τριών)....κλπ

Αποστόλης

Αυτές οι λύσεις έχουν πολύ ενδιαφέρον. Το μόνο ερωτηματικό είναι να εξηγήσει κάποιος γιατί τα ποσά αρχικό ποσό - διαφορά χρημάτων είναι ανάλογα. Εννοώ ότι είναι δύσκολο να το εξηγήσει κανείς σε μαθητές.
Αυτή τη μέθοδο τη χρησιμοποιούν συχνά και σήμερα σε αγγλοσαξωνικές χώρες , όπου υπάρχουν ασκήσεις με επιλογή στην απάντηση.
Προσωπικά μου αρέσει ο τρόπος αυτός, έστω και με αυτό το μικρό ''κενό''.

Μπάμπης

#7

Rigio έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Τέσσερις φίλοι που τραγούδησαν τα κάλαντα μοιράζονται ένα ποσό ως εξής. Ο πρώτος παίρνει τα $\frac {3}{7}$ του ποσού, ο δεύτερος τα $\frac {5}{8}$ του υπολοίπου, ο τρίτος το $\frac {1}{3}$ του νέου υπολοίπου και ο τέταρτος τα υπόλοιπα χρήματα.
Αν ο δεύτερος πήρε 75 ευρώ περισσότερα από τον τέταρτο, πόσα χρήματα πήρε ο καθένας ;

Μπάμπης

Σχόλιο :
Επειδή η δική μας σκέψη τρέχει .....στις εξισώσεις, ας προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε το πρόβλημα με όσο πιο απλές λύσεις γίνεται !
Αν και σύμφωνα με την επικρατούσα διδακτική αντίληψη: "Η Άλγεβρα είναι ένα εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων", ας προσπαθήσουμε δίχως εξισώσεις:

...................................Άδικο, Μπάμπη, άδικο.... Οι Γ και Δ τι είναι; Ανειδίκευτοι κανταδόροι;

Γιώργος Ρίζος

Γιώργο, ...προβληματίστηκα και γω για τους κανταδόρους και τους πρίμα-σεκόντο

. Τι να κάνω όμως ; Οι φίλοι θα μπορούσαν να είναι 4 τραπεζίτες ή έμποροι ή συνέταιροι, αλλά αυτοί αλληλοαποκλείονται από φίλοι !Εκτός και αν αυτό είναι μια πλάνη και στην πραγματικότητα όλοι αυτοί είναι μετααξύ τους πιο φίλοι από ότι νομίζουμε ! Ξέρεις εσύ τι εννοώ.
Αυτό όμως που με ανησυχεί δεν είναι η άνιση μοιρασιά - χάριν του προβλήματος - , αλλά το γεγονός ότι πέρισυ πέρασε από την πολυκατοικία μόνο ένα παιδάκι για τα κάλλαντα, ενώ πριν 10 χρόνια περνούσαν πάνω από 40 παρέες .Άλλες εποχές !
Μπάμπης

7apostolis · #8

Καλησπέρα,
Μπάμπη νομίζω ότι δεν υπάρχει πρόβλημα στην συγκεκριμένη άσκηση να εξηγήσουμε γιατί τα ποσά είναι ανάλογα.
Η διαφορά είναι τα 3/14 κάποιου αρχικού ποσού. Αν το αρχικό ποσό μεταβληθεί ανάλογα μεταβάλλονται και
τα 3/14 αυτού.
Αποστόλης

Κλασικό πρόβλημα στα κλάσματα!

Κλασικό πρόβλημα στα κλάσματα!

Re: Κλασικό πρόβλημα στα κλάσματα!

Re: Κλασικό πρόβλημα στα κλάσματα!

Re: Κλασικό πρόβλημα στα κλάσματα!

Re: Κλασικό πρόβλημα στα κλάσματα!

Re: Κλασικό πρόβλημα στα κλάσματα!

Re: Κλασικό πρόβλημα στα κλάσματα!

Re: Κλασικό πρόβλημα στα κλάσματα!

Μέλη σε σύνδεση