Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

#21

papamixalis έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9: Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b , c}$ , έτσι ώστε ο να είναι πολλαπλάσιο του , ο να είναι

πολλαπλάσιο του και ο να είναι πολλαπλάσιο του

Καλησπέρα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Οι αριθμοί είναι της μορφής

Για

οι αριθμοί είναι οι οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του εαυτού τους και είναι διαδοχικοί φυσικοί.

Φιλικά
Μιχάλης

Σωστά Μιχάλη. Να συμπληρώσω μόνο, ότι αν η εκφώνηση έλεγε ότι οι ζητούμενοι αριθμοί να είναι διαφορετικοί από τους 2015 , 2016 , 2017

, τότε θα μπορούσαμε να

παίρναμε τους εξής αριθμούς: a=2015.2016.2017 + 2015

,

Πράγματι, οι αριθμοί αυτοί είναι διαδοχικοί και ο

είναι προφανώς πολλαπλάσιο του 2015

, αφού

, ο

είναι πολλαπλάσιο του

2016

, αφού

και ομοίως ο

είναι πολλαπλάσιο του 2017

#22

ΑΣΚΗΣΗ 11:Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι :

$\displaystyle{[(a^2 b^3 )^{-2}.(ab^3 )^4 ]<img class="smilies" src="./images/smilies/icon_e_sad.gif" width="15" height="17" alt=":(" title="Sad">a^3 : b^{-1})^{-3}] = 1}$

#23

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9: Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b , c}$ , έτσι ώστε ο να είναι πολλαπλάσιο του , ο να είναι

πολλαπλάσιο του και ο να είναι πολλαπλάσιο του

Μια παρατήρηση για την άσκηση αυτή: Αν η εκφώνηση έλεγε να εξετάσουμε αν υπάρχουν άπειρες τριάδες αριθμών $\displaystyle{a , b , c}$ που να ικανοποιούν τις απαιτήσεις του

προβλήματος, η απάντηση είναι ναι . Πράγματι, θεωρούμε ότι: $\displaystyle{a=k(k+1)(k+2). ... .2015.2016.2017.2018. ...n + 2015 , b=a + 1 , c=a+2}$ , όπου $\displaystyle{k , n}$ είναι

φυσικοί αριθμοί με $\displaystyle{k\leq 2015}$ και $\displaystyle{n\geq 2017}$ . Τότε οι αριθμοί $\displaystyle{a , b , c}$ είναι διαδοχικοί και εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο $\displaystyle{a}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{2015}$ ,

ο $\displaystyle{b}$ πολλαπλάσιο του $\displaystyle{2016}$ και ο $\displaystyle{c}$ πολλαπλάσιο του $\displaystyle{2017}$

papamixalis · #24

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 11:Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι :

$\displaystyle{[(a^2 b^3 )^{-2}.(ab^3 )^4 ]<img class="smilies" src="./images/smilies/icon_e_sad.gif" width="15" height="17" alt=":(" title="Sad">a^3 : b^{-1})^{-3}] = 1}$

Καλημέρα

Αφού a,b

αντίστροφοι $b=\dfrac{1}{a}$

$A=[(a^2\cdot a^{-3})^{-2} \cdot (a\cdot a^{-3})^4] : (a^3 : a)^{-3}=[(a^{-1})^{-2} \cdot (a^{-2})^4]<img class="smilies" src="./images/smilies/icon_e_sad.gif" width="15" height="17" alt=":(" title="Sad">a^2)^{-3}=(a^2\cdot a^{-8}):a^{-6}=a^{-6} : a^{-6}=1$

Φιλικά
Μιχάλης

Karanus · #25

ΑΣΚΗΣΗ 12: Δίνονται έξι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Οι τρεις πρώτοι αριθμοί έχουν άθροισμα 27.
α. Ποιό είναι το άθροισμα των τριών τελευταίων αριθμών από τους έξι διαδοχικούς αριθμούς που δόθηκαν;
β. Ο δεκαψήφιος αριθμός που σχηματίζεται γράφοντας κατά αύξουσα διάταξη τους παραπάνω έξι διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς είναι πολλαπλάσιος του 5;
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

papamixalis · #26

Karanus έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 12: Δίνονται έξι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Οι τρεις πρώτοι αριθμοί έχουν άθροισμα 27.
α. Ποιό είναι το άθροισμα των τριών τελευταίων αριθμών από τους έξι διαδοχικούς αριθμούς που δόθηκαν;
β. Ο δεκαψήφιος αριθμός που σχηματίζεται γράφοντας κατά αύξουσα διάταξη τους παραπάνω έξι διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς είναι πολλαπλάσιος του 5;
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Καλησπέρα

Έστω

ο πρώτος αριθμός.

a) $x+x+1+x+2=27 \Leftrightarrow x=8$

Άρα η σειρά των αριθμών είναι

8,9,10,11,12,13

b)Ο δεκαψήφιος αριθμός είναι

8910111213

Ο αριθμός δεν διαιρείται με το

αφού δεν λήγει σε

ή

.

Φιλικά
Μιχάλης

Karanus · #27

ΑΣΚΗΣΗ 13:Αν τοποθετήσουμε το ψηφίο 7 στο τέλος ενός διψήφιου
αριθμού, ο τριψήφιος που προκύπτει είναι κατά 529 μεγαλύτερος του αρχικού διψήφιου. Να βρεθεί ο διψήφιος αριθμός.

Karanus · #28

ΑΣΚΗΣΗ 14: Η μεγαλύτερη πλευρά του εξωτερικού ορθογωνίου του διπλανού σχήματος μειώθηκε κατά 20% ενώ η μικρότερη πλευρά του μειώθηκε κατά 30% και δημιουργήθηκε έτσι το εσωτερικό ορθογώνιο. Αν το εμβαδόν του εσωτερικού ορθογωνίου είναι 112 τετραγωνικά εκατοστά.

α)να βρεθεί το εμβαδόν του εξωτερικού ορθογωνίου.
β)αν οι πλευρές των ορθογωνίων είναι ακέραιοι αριθμοί και η περίμετρος του εσωτερικού ορθογωνίου είναι 46 εκατοστά να βρεθούν οι διαστάσεις των δύο ορθογωνίων.

Grosrouvre · #29

Karanus έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13:Αν τοποθετήσουμε το ψηφίο 7 στο τέλος ενός διψήφιου
αριθμού, ο τριψήφιος που προκύπτει είναι κατά 529 μεγαλύτερος του αρχικού διψήφιου. Να βρεθεί ο διψήφιος αριθμός.

Έστω

και

τα ψηφία των δεκάδων και των μονάδων αντίστοιχα, του ζητούμενου διψήφιου αριθμού. Τότε, με βάση τα δεδομένα, θα ισχύει ότι:

$x \cdot 10^2 + y \cdot 10 + 7 - 529 = x \cdot 10 + y \Longrightarrow$

$\Longrightarrow x \cdot 10^2 + (y - 1) \cdot 10 +17 - 5 \cdot 10^2 - 2 \cdot 10 - 9 = x \cdot 10 + y$

Από τα παραπάνω, συμπεραίνουμε ότι:

x - 5 =0

και

.

Η λύση του συστήματος, μας δίνει x = 5

και

. Δηλαδή, τον διψήφιο

, ο οποίος πληρεί όλα τα δεδομένα.

papamixalis · #30

Karanus έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14: Η μεγαλύτερη πλευρά του εξωτερικού ορθογωνίου του διπλανού σχήματος μειώθηκε κατά 20% ενώ η μικρότερη πλευρά του μειώθηκε κατά 30% και δημιουργήθηκε έτσι το εσωτερικό ορθογώνιο. Αν το εμβαδόν του εσωτερικού ορθογωνίου είναι 112 τετραγωνικά εκατοστά.

α)να βρεθεί το εμβαδόν του εξωτερικού ορθογωνίου.
β)αν οι πλευρές των ορθογωνίων είναι ακέραιοι αριθμοί και η περίμετρος του εσωτερικού ορθογωνίου είναι 46 εκατοστά να βρεθούν οι διαστάσεις των δύο ορθογωνίων.

Καλησπέρα

α)Έστω

η αρχική μεγάλη πλευρά και

η αρχική μικρή.
Οι νέες πλευρές θα είναι αντίστοιχα 0,8x

και

Θα είναι

$0,8x\cdot 0,7y=112 \Leftrightarrow xy=200$

Άρα E=200

β) $1,6x+1,4y=46 \Leftrightarrow 16x+14y=460 (1)$

Από το α) $x=\dfrac{200}{y}$

Άρα η (1)

γράφεται:

Από εδώ προκύπτουν δύο λύσεις από τις οποίες μόνο μια είναι ακέραια και συγκεκριμένα η

y=10

Άρα

Οπότε θα είναι
0,8x=16

Φιλικά
Μιχάλης

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Για το δεύτερο ερώτημα, (και για να μην ανησυχούν οι μαθητές της Α και Β Γυμνασίου), υπάρχουν σημεία στην λύση τα οποία δεν τα έχουν διδαχθεί ακόμα. Όταν αποκτήσουν γνώσεις της Γ Γυμνασίου, τότε θα μπορέσουν να κατανοήσουν πλήρως την πιο πάνω λυση

Grosrouvre · #31

ΑΣΚΗΣΗ 15

Πρόκειται για θέμα του 5ου Διαγωνισμού Μαθηματικών Α' Γυμνασίου "Ο Ίππαρχος" του Παραρτήματος Δωδεκανήσου της Ε.Μ.Ε.

Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί x, y, w

με

πρώτο αριθμό, τέτοιοι ώστε να ισχύει:

x(y^2 +4)(w^3 +4) = 2015

(1)

1. Ο αριθμός 2015

είναι πρώτος ή σύνθετος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

2. Να βρείτε όλους τους διαιρέτες του αριθμού 2015.

3. Να βρείτε τρεις τριάδες (x, y, w)

που επαληθεύουν την ισότητα (1).

papamixalis · #32

Grosrouvre έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 15

Πρόκειται για θέμα του 5ου Διαγωνισμού Μαθηματικών Α' Γυμνασίου "Ο Ίππαρχος" του Παραρτήματος Δωδεκανήσου της Ε.Μ.Ε.

Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί με πρώτο αριθμό, τέτοιοι ώστε να ισχύει:

(1)

1. Ο αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

2. Να βρείτε όλους τους διαιρέτες του αριθμού 2015.

3. Να βρείτε τρεις τριάδες που επαληθεύουν την ισότητα (1).

Καλημέρα

1) Ο αριθμός 2015

είναι σύνθετος αφού εκτός από τον εαυτό του και την μονάδα έχει διαιρέτη και το

που φαίνεται εύκολα, μιας και τελειώνει σε

.

2) Οι διαιρέτες του 2015

με τη γνωστή διαδικασία είναι οι αριθμοί :

1,5,13,31,2015

3)Η σχέση

γράφεται:

$x(y^2+4)(w^3+4)=5\cdot 13\cdot 31$

Διακρίνω 3 περιπτώσεις

α) x=5

$y^2+4=13 \Leftrightarrow y=3$

$w^3+4=31 \Leftrightarrow w=3$

Άρα ένα ζεύγος το (x,y,w)=(5,3,3)

β)

$y^2+4=5 \Leftrightarrow y=1$

$w^3+4=31 \Leftrightarrow w=3$

Άρα δεύτερο ζεύγος (x,y,w)=(13,1,3)

γ)

Άρα τρίτο ζεύγος (x,y,w)=(31,3,1)

EDIT:Διόρθωση λάθους, πιστεύω πως τώρα είναι εντάξει.Ευχαριστώ τον κύριο Grosrouvre.

Φιλικά
Μιχάλης

#33

ΑΣΚΗΣΗ 16:Δίνονται οι αριθμοί: $\displaystyle{a=2^3 +(7,2 - 5):2 -7,9}$ και $\displaystyle{b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$

(1) Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί και στη συνέχεια να συγκριθούν οι αριθμοί $\displaystyle{a-\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{b+\frac{1}{2}}$ .

(2) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ είναι αντίστροφοι

(3) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{c = 25.a +1554.b}$ είναι φυσικός

(4) Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του φυσικού αριθμού $\displaystyle{x}$ , ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{c}{x}}$ να είναι επίσης φυσικός.

(5) Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle{c + 474}$ είναι πρώτος ή σύνθετος.

papamixalis · #34

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16:Δίνονται οι αριθμοί: $\displaystyle{a=2^3 +(7,2 - 5):2 -7,9}$ και $\displaystyle{b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$

(1) Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί και στη συνέχεια να συγκριθούν οι αριθμοί $\displaystyle{a-\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{b+\frac{1}{2}}$ .

(2) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ είναι αντίστροφοι

(3) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{c = 25.a +1554.b}$ είναι φυσικός

(4) Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του φυσικού αριθμού $\displaystyle{x}$ , ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{c}{x}}$ να είναι επίσης φυσικός.

(5) Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle{c + 474}$ είναι πρώτος ή σύνθετος.

Καλησπέρα

1) $a=8 +\dfrac{22}{20}-8+\dfrac{1}{10}=\dfrac{11}{10}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{6}{5}$

$b=\dfrac{2+3}{6}=\dfrac{5}{6}$

$a-\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{10}<1$

$b+\dfrac{1}{2}=\dfrac{8}{6}>1$

Άρα $a-\dfrac{1}{2}<b+\dfrac{1}{2}$

2) Οι αριθμοί είναι αντίστροφοι, αφού έχουν γινόμενο

3)

άρα είναι φυσικός.

4) $\dfrac{1325}{x}$

Αρκεί το

να είναι διαιρέτης του

.
Οι διαιρέτες του 1325

είναι οι

5)

Ο οποίος αν διαιρείται με το

άρα είναι σύνθετος.

Φιλικά
Μιχάλης

#35

ΑΣΚΗΣΗ 17: Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6} . ... .\frac{99}{100}.(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5}).(1+\frac{1}{7}). ... .(1+\frac{1}{99})}$

papamixalis · #36

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17: Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6} . ... .\frac{99}{100}.(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5}).(1+\frac{1}{7}). ... .(1+\frac{1}{99})}$

Καλημέρα

Παρατηρούμε ότι

$\dfrac{3}{4}(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1$

Οπότε $A=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot1 \cdot....\cdot 1$

Άρα $A=\dfrac{1}{2}$

Φιλικά
Μιχάλης

#37

ΑΣΚΗΣΗ 18: Να βρείτε 1000

κλάσματα με αριθμητές διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, που να είναι πιο μεγάλα από το $\displaystyle{\frac{6}{7}}$

και μικρότερα από την μονάδα.

papamixalis · #38

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 18: Να βρείτε κλάσματα με αριθμητές διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, που να είναι πιο μεγάλα από το $\displaystyle{\frac{6}{7}}$

και μικρότερα από την μονάδα.

Καλησπέρα
Τα κλάσματα θα είναι της μορφής

$\dfrac{n}{n+1}$

με n>6

και

να ανήκει στο

π.χ.

$\dfrac{7}{8} > \dfrac{6}{7}$

Πιστεύω πως δεν μου έχει ξεφύγει κάτι.

Φιλικά
Μιχάλης

#39

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 18: Να βρείτε κλάσματα με αριθμητές διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, που να είναι πιο μεγάλα από το $\displaystyle{\frac{6}{7}}$

και μικρότερα από την μονάδα.

Ένας ακόμα τρόπος να βρούμε τα ζητούμενα κλάσματα είναι ο εξής: Ζητάμε να βρούμε 1000

κλάσματα με αριθμητές διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, που να

είναι ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle{\frac{6}{7}}$ και $\displaystyle{1}$ , δηλαδή ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle{\frac{6}{7}}$ και $\displaystyle{\frac{7}{7}}$ , δηλαδή ανάμεσα στους

αριθμούς $\displaystyle{\frac{60000}{70000}}$ και $\displaystyle{\frac{70000}{70000}}$ . Τέτοια λοιπόν κλάσματα είναι για παράδειγμα τα εξής:

$\displaystyle{\frac{60001}{70000} , \frac{60002}{70000} , \frac{60003}{70000} , ... , \frac{61000}{70000}}$

#40

ΑΣΚΗΣΗ 19: Αν ο εξαψήφιος αριθμός $\displaystyle{K=199a1b}$ διαιρείται με το

και με το

και ο αριθμός $\displaystyle{L= K+2016}$ είναι πολλαπλάσιο του

, να βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{K ,L}$

Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση