Πώς το εξηγείς;

[iolis]

Πως εξηγείς σε μαθητή Λυκείου ότι ο αριθμός είναι ο αριθμός 1.
Όχι πως το αποδεικνύεις ή , άρα .
Ευχαριστώ.

[mhtsort]

[chris_gatos]

Kαλημέρα. Πιστεύω πως ο καλύτερος τρόπος παρουσίασης είναι με χρήση του αθροίσματος απείρων όρων γεωμετρικής προόδου. Το γιατί, έχει να κάνει με αυτές τις αναθεματισμένες τις τελίτσες . Κι όλα αυτά γιατί στο βήμα όπου 10χ=χ+9... <=> 10χ-χ=9.... <=> 9χ=9, αφαιρούμε απο τελίτσες...τελίτσες και δεν ξέρω πόσο σωστό ειναι απο μαθηματικής απόψεως.
Απο..διαισθητικής σκίζει!!

[iolis]

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Το ερώτημα είναι πως γίνεται ο αριθμός 0,999... να είναι το 1 και έχω χρησιμοποιήσει αυτό που γράφει ο Χρήστος και το άλλο με το 1/3 αλλά δεν πείθεται. Το πρόβλημα είναι ,υποθέτω , με τα άπειρα 9αρια που ενώ το πλήθος τους είναι μη πεπερασμένο ο αριθμός είναι συγκεκριμένος. Τέλος το ζήτημα δεν το έθεσα εγώ στο μαθητή αλλά εμένα "φορτώθηκε" για να του το απαντήσω. Νομίζω ότι είναι ένα ερώτημα περισσότερο θέμα διδακτικής φύσης. Τα λέμε , καλημέρα.

[GiannisL]

Μήπως να τους εξηγούσες ότι ανάμεσα σε δυο διαφορετίκους πραγματικους αριθμούς υπάρχουν πάντα άπειροι πραγματικοί αριθμοί .Και να εξηγήσεις ότι ανάμεσα στο 1 και το 0.999... δεν υάρχει κανένας πραγματικός αριθμός
άρα.....

[chris_gatos]

Tελικά όλα είναι θέμα supremum !! Εγω τώρα τα ξαναπιάνω και τα μελετάω, μετά απο 20(!) χρόνια...

[giarou]

Αυτό που λέω εγώ συνήθως εκτός από αυτά που ειπώθηκαν από τους συναδέλφους είναι ότι αυτές οι "καταραμένες" τελίτσες είναι "πρόβλημα" του συμβολισμού των αριθμών στο δεκαδικό σύστημα. Γιαυτό το λόγο τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε για τις ποσότητες είναι διαφόρων ειδών Π.Χ. μέσω μιας ιδιότητας ( ή σαν διατεταγμένα ζεύγη και τις μορφές αυτές τις χρησιμοποιούμε ανάλογα με το τι πρόκειται να κάνουμε με τις ποσότητες( δεν είναι εύκολο να προσθέσεις ρίζες είναι πολύ εύκολο όμως να τις πολλαπλασιάσεις και να τις υψώσεις σε δύναμη. Ελπίζω με όλα αυτά τα όπλα να πείσεις το μαθητή σου

[iolis]

Ευχαριστώ για τη βοήθεια. Έδειξε να πείθεται αν και αμφιβάλλω ότι τελικά πείστηκε.
Πιστεύω και γω ότι όλα είναι θέμα supremum και "βάλτα να πάνε , πήγανε".
Καλό βράδυ.

[Τηλέγραφος Κώστας]

Παντως εγω ακομα πιστευω και υποστιριζω οτι 1 ειναι περιπου ισο με το 0.9999999....
δηλαδη οτι τεινει να γινει ισο με 1.

Ποτε μου δεν καταφερα να τεμαχισω μια βεργα στα 3;;;;;;;;;;;;;;;
Για μενα το σφαλμα ξεκινα σε πρωτη φαση απο το 1/3=0.3333333
Τελος παντων ,,,αλλο τι λεμε στους μαθητες και αλλο τι ....

[Γιώργος Ρίζος]

Κώστα, σε παραπέμπω στη συζήτηση που είχαμε κάνει πριν λίγο καιρό σχετικά με τη μετάβαση από τον "πραγματικό κόσμο" στον κόσμο των μαθηματικών.

viewtopic.php?f=44&t=405

Το ΔΥΣΚΟΛΟΤΕΡΟ έργο μας είναι η (όσο γίνεται πιο) σωστή διδασκαλία αυτών των εννοιών στους μικρούς μαθητές.
Να επαναλάβω εδώ την αντίθεση μου για τη διαρκή μεταφορά της ύλης σε μικρότερες τάξεις.
Έτσι, αυτές οι έννοιες θα διδαχτούν στην Α΄Γυμνασίου σε 1 ώρα.

Δείτε, τώρα, πως( αν ακολουθήσουμε το σχολικό βιβλίο...):
Θα μπούμε στην τάξη και θα πούμε: "Καλημέρα παιδιά μου! Το ξέρατε ότι δεν μπορείτε να μοιράσετε πέντε σοκολάτες στα τρία;" Το ηπιότερο σχόλιο που θ' ακούσουμε θά 'ναι: "Τρελαθήκατε, κύριε καθηγητά!" (είναι κι ευγενικά παιδιά), "Δώστε μας εσείς και θα δείτε...".

Periodikoi01.png (30.71 KiB) Προβλήθηκε 9218 φορές

Μετά θα μοιράσουμε μία επιδότηση σε 7 ομάδες:

Periodikoi02.png (19.25 KiB) Προβλήθηκε 9217 φορές

Θα δυσκολευτούμε λίγο με τα ψιλά που πρέπει να δώσουμε, αλλά τι να γίνει...

Κατόπιν θα δείξουμε τη μέθοδο μετατροπής περιοδικών σε κλάσμα,
θα τους βάλουμε την άσκηση 3 για να ανακαλύψουν μόνοι τους ότι

και ... θα τους βάλουμε μια εργασία για το σπίτι:

Periodikoi03.png (21.07 KiB) Προβλήθηκε 9218 φορές

Αν βρεθεί, λέω αν, κάποιο παιδάκι που δεν θα καταφέρει να "ανακαλύψει" το παράδοξο του Ζήνωνα (μόνο του), την άλλη μέρα θα του το εξηγήσουμε.

Periodikoi04.png (30.58 KiB) Προβλήθηκε 9218 φορές

Γιώργος Ρίζος


Υ.Γ. Ο Λεωνίδας Θαρραλίδης μου είχε πριν χρόνια υποδείξει την πρακτική μέθοδο στο βιβλίο Μαθηματικά, Α΄ Τάξη 1ου Κύκλου, των Λιουδάκη Δ., Σακελλάρη Β., Τσίτουρα Χ.

Την περιγράφω παρακάτω:

Ένας πρακτικός τρόπος, για να βρούμε το κλάσμα που παριστάνει ένας περιοδικός δεκαδικός αριθμός, φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα.
Ο παρονομαστής έχει τόσα 9 όσα είναι τα ψηφία της περιόδου και τόσα 0 όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία έξω από την περίοδο.
Ο αριθμητής προκύπτει με αφαίρεση δύο ακέραιων. Από τον ακέραιο που σχηματίζεται με όλα τα ψηφία, αφαιρούμε εκείνον που έχει ψηφία όσα είναι έξω από την περίοδο.



Οπότε:

[Demetres]

Δείτε, τώρα, πως( αν ακολουθήσουμε το σχολικό βιβλίο...):
Θα μπούμε στην τάξη και θα πούμε: "Καλημέρα παιδιά μου! Το ξέρατε ότι δεν μπορείτε να μοιράσετε πέντε σοκολάτες στα τρία;" Το ηπιότερο σχόλιο που θ' ακούσουμε θά 'ναι: "Τρελαθήκατε, κύριε καθηγητά!" (είναι κι ευγενικά παιδιά), "Δώστε μας εσείς και θα δείτε...".

Πέρα από το τυπογραφικό λάθος στην άσκηση του βιβλίου, είναι δηλαδή κριτήριο αν μπορούμε να κάνουμε μια μοιρασιά η δεκαδική μορφή ενός αριθμού; Αν υπάρχουν εξωγήινοι με δώδεκα δάκτυλα και χρησιμοποιούν το δωδεκαδικό σύστημα, θα λέγανε 5/3 = 1.8. Οι εξωγήινοι μπορούν να τις μοιράσουν και εμείς όχι;

[GiannisL]

Αγαπητοί συνάδελφοι θα ήθελα να πω ότι έννοιες που αφορούν την θεμελίωση του R σε σχέση με την έννοια του απείρου θα πρέπει να αντιμετωπίζονται με ιδιαίτερη προσοχή. Πιστεύω ότι ένας μαθητής της Α’ λυκείου δύσκολα μπορεί να αντιληφθεί ότι 0,99….. =1 Έρχεται σε αντίθεση με την εποπτεία.
Ας του εξηγήσουμε ότι η ισότητα είναι θέμα ορισμού. Αφορά τον τρόπο με τον οποίο ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί.
Άλλωστε σε ότι αφορά το άπειρο , πολλές φορές έρχεται σε αντίθεση αυτό που αντιλαμβάνονται τα παιδιά , με αυτό που ισχύει στην πραγματικότητα.
Πολλές φορές για να το δείξω αυτό κάνω το εξής: σχεδιάζω στον πίνακα δύο άνισα ευθύγραμμα τμήματα. Στην ερώτηση πόσα σημεία περιέχουν αυτά η απάντηση είναι πάντοτε «άπειρα»
Στην αμέσως επόμενη ερώτηση ποιο περιέχει περισσότερα σημεία; Η απάντηση είναι σχεδόν πάντοτε "το πιο μεγάλο".
Άντε τώρα να τους εξηγήσεις ότι περιέχουν τον ίδιο αριθμό σημείων ακριβώς.
Για σκεφτείτε για λίγο ποιες γνώσεις πρέπει να έχουν οι μαθητές μας για μπορέσουν να κατανοήσουν πλήρως αυτό το γεγονός. (Αμφιμονοσήμαντες αντιστοιχίες, Ισότητα απειροσυνόλων κλπ)

[Τηλέγραφος Κώστας]

Ένας πρακτικός τρόπος, για να βρούμε το κλάσμα που παριστάνει ένας περιοδικός δεκαδικός αριθμός, φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα.
Ο παρονομαστής έχει τόσα 9 όσα είναι τα ψηφία της περιόδου και τόσα 0 όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία έξω από την περίοδο.
Ο αριθμητής προκύπτει με αφαίρεση δύο ακέραιων. Από τον ακέραιο που σχηματίζεται με όλα τα ψηφία, αφαιρούμε εκείνον που έχει ψηφία όσα είναι έξω από την περίοδο.[/color]



Οπότε:

Μια ερώτηση ποια διαίρεση ,ποιος ρητός έχει αποτέλεσμα
0,9999999…..
1,1999999….
Δηλαδή ποτέ θα μας προκύψει κάτι τέτοιο .
Υ.Γ Ποιος ο λογος να συμβολιζω εαν αριθμο με δυο τροπους

[lonis]

Πολύ αιφνιδιαστική ερώτηση, αυτή του Κώστα!

Προσπαθώντας να απαντήσω, σκέφτηκα ότι, έχουμε, για παράδειγμα:

4/9+5/9=0,444...+0,555...=0,999...
άρα, αφού
4/9+5/9=1
μήπως έχουμε έναν άλλο τρόπο για να εξηγήσουμε στα παιδιά ότι 0,999...=1;

Λεωνίδας

[chris_gatos]

Παιδιά η πιο ωραία παρουσίαση και η πιο απλή είναι η θεμελίωση που κάνει ο Apostol στις σελίδες 20-28(Ειδικά τις σελίδες 25-28) του
''Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός΄΄. Ανοίγει μάτια στο συγκεκριμένο θέμα. Καταλήγει σ'αυτό που προείπα. Τα πάντα είναι θέμα supremum.
Λέει χαρακτηριστικά στη σελίδα 28 : '' Το ότι ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να έχει δύο διαφορετικές δεκαδικές παραστάσεις οφείλεται στο γεγονός ότι δυο διαφορετικα σύνολα πραγματκών αριθμών μπορούν να έχουν το ίδιο ελάχιστο ανω φράγμα.
Το παραδειγμά του 1/8=0.125000....... αλλά και 1/8=0,124999....

[Γιώργος Ρίζος]

Πολύ έξυπνη η παρατήρηση του Λεωνίδα!
Θα βοηθήσει στη διδασκαλία σε μικρούς μαθητές.
Και ο Γιάννης έχει δίκιο στις παρατηρήσεις του.

Το παρακάτω ορθότατο επιχείρημα, πάντως, πιστεύω δεν θα είναι πολύ πειστικό στην Α΄ Γυμνασίου.

Μήπως να τους εξηγούσες ότι ανάμεσα σε δυο διαφορετίκους πραγματικους αριθμούς υπάρχουν πάντα άπειροι πραγματικοί αριθμοί .Και να εξηγήσεις ότι ανάμεσα στο 1 και το 0.999... δεν υάρχει κανένας πραγματικός αριθμός
άρα.....

Εδώ στέκεται η παρέμβασή μου: Αγανακτώ, σκεπτόμενος ότι πρέπει σε 1 ώρα να διδάξουμε όλα τα παραπάνω σε μαθητές Α΄ Γυμνασίου,
κι όσο για το ότι 0,9999.... = 1, θα πρέπει να το ανακαλύψουν μόνοι τους στο σπίτι λύνοντας την άσκηση (3)...

Αγαπητέ Δημήτρη, δικαίως αγανακτείς. Αν θες να δεις κι άλλα θαυμαστά στα βιβλία του Γυμνασίου, ρίξε μια ματιά στο αρχείο που δίνω στη συζήτηση: viewtopic.php?f=6&t=693

Γιώργος Ρίζος

[Τηλέγραφος Κώστας]

Περιοδικός αριθμός
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Περιοδικοί αριθμοί λέγονται οι ρητοί αριθμοί που έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, τα οποία επαναλαμβάνονται επ' άπειρον. Δηλαδή σε ένα περιοδικό δεκαδικό αριθμό, ένα ή περισσότερα δεκαδικά ψηφία του επαναλαμβάνονται. Τα ψηφία που επαναλαμβάνονται λέγονται περίοδος του αριθμού αυτού. Π.χ. ο αριθμός 3,53636363636... είναι περιοδικός δεκαδικός αριθμός με περίοδο 36.
Κάθε περιοδικός αριθμός είναι ρητός, γιατί μπορεί να γραφεί ως κλάσμα ακεραίων. Π.χ. ο αριθμός 0,777...=7/9 γιατί αν θεωρήσουμε x=0,777... τότε 10x=7,777... οπότε με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει 9x=7 οπότε x=7/9.
Αν θεωρήσουμε τον αριθμό 0,999... τότε με τον ίδιο τρόπο έχουμε: x=0,999... τότε 10x=9,999... οπότε με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει 9x=9 οπότε x=9/9 δηλαδή x=1. Δηλαδή αποδείξαμε ότι 0,999...=1.
Αυτό το συμπέρασμα δικαιολογείται και από μία βασική αρχή των Μαθηματικών: μεταξύ 2 άνισων αριθμών,πάντοτε υπάρχει ένας ενδιάμεσος αριθμός (αρχή της πληρότητας). Συνεπώς αν οι αριθμοί 0,999... και 1 ήταν άνισοι, θα έπρεπε να υπήρχε ανάμεσά τους ένας αριθμός που θα ήταν μεγαλύτερος του 0,999... και μικρότερος του 1, πράγμα το οποίο δεν ισχύει. Με παρόμοιο τρόπο 2,1999...=2,2.


Περιοδικοί αριθμοί λέγονται οι ρητοί αριθμοί που έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, τα οποία επαναλαμβάνονται επ' άπειρον.
Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι το σύνολο των αριθμών που μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με ακέραιους όρους και παρονομαστή διάφορο του μηδενός

Ποιος λοιπόν ρητος=0.99999….=δεκαδικος .
Εκτός αν δεχτώ ότι 5/5=0.99999….

Το π.χ του Λεωνίδα
4/9+5/9=0,444...+0,555...=0,999...
άρα, αφού
4/9+5/9=1
μήπως έχουμε έναν άλλο τρόπο για να εξηγήσουμε στα παιδιά ότι 0,999...=1;
Είναι μια ωραία κατασκευή του 0.999….
Αλλά δεν πιστεύω ότι είναι κατάλληλο για μαθητές, αφού όλοι απλά θα κάνουν ομώνυμα από το να διαιρέσουν………
Χρήστο αν έχεις μεταφρασμένο τις σελίδες 20-28 του Τom Apostol αν μπορείς βάλτο στο club ……..

[chris_gatos]

Καλημέρα. Σε δύο μέρες απο τώρα θα το κάνω πολύ ευχαρίστως,αν όλα πάνε οκ. Να'στε καλά!

[Μπάμπης Στεργίου]

Νομίζω ότι το παράδειγμα του Λεωνίδα είναι πάρα πολύ καλό.Μάλιστα στο περιοδικό πi in the sky υπάρχει το εξής μαθηματικο ανέκδοτο . Ρωτάνε σε μια μεταπτυχική εξεταστική τρεις φοιτητές : έναν από τα καθαρά μαθηματικά έναν από τα εφηρμοσμένα και έναν στατιστικολόγο :
''πόσο κάνει 1/3 + 2/3 ; "
*** Ο ..καθαρός λέει '' 1''
*** Ο .... εφηρμοσμένος λέει ''0,999999''
*** Ο ....στατιστικός λέει :'' πόσο θέλετε να κάνει '' ;
βλέπουμε λοιπόν ότι έχουμε να κάνουμε με ένα ωραίο από διδακτική απόψη ερωτηματάκι . Το να ορίσουμε απλά τον περιοδικό δεκαδικό ως ρητό δεν είναι αρκετό. Πριν τον ορισμό υπήρξε η θεμελίωση με τα όρια που με τη σειρά τους βασίζοτναι στην αυστηρή θεμελίωση των πραγματικών είτε με τις τομές Dedekind είτε με τις ακολυθίες Cauchy είτε με τον κιβωτισμό κλπ.
Είναι όμως προφανές ότι ο μαθητής Γυμνασίου με ένα δύο απλά παραδείγματα παίρνει σωστά το μήνυμα και δεν χρειάζεται να ακούσει όλο τον προβληματισμό του καθηγητή, ειδικά αν δεν έχει απαντήσει ο ίδιος με διαύγεια στα ερωτήματα αυτά .
Μεταξύ μας μπορούμε βέβαια να κουβεντιάζουμε ..επ'απειρον ! Γι αυτό συνεχίστε τη συζήτηση , διότι μόνο ο διάλογος φέρνει πρόοδο !
Μπάμπης

[seyes]

Συμφωνώ με τους συναδέρφους που το βλέπουν περισσότερο διδακτικό πρόβλημα. Είναι παρόμοιο με το 2ο θέμα του ΑΣΕΠ 2007 στην ειδική διδακτική όπου μαθητές ΄Β λυκείου συζητούσαν για το ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος ο 1,2399999..... ή 1,24. Ο πρώτος μαθητής είπε ότι είναι ο 1,24 και ο δεύτερος τον ρώτησε αν μπορεί να βρεί καποιον αριθμό ανάμεσα στους δύο....
Σε μαθητές ΄Β λυκείου μπορούμε νομίζω να δώσουμε και λύση με γεωμετρικές προόδους.
Δηλαδή 1,23999...=1+0,2+0,03+(0,009+0,0009+0,00009+.....)
όπου το (0,009+0,0009+0,00009+.....) είναι άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου με λ=0,1. Άρα το άθροισμα θα είναι Άρα 1,23999....=1+0,2+0,03+0,01=1,24.
Θά ήθελα να δω βέβαια και μία λύση έξω απο τα πλαίσια του λυκειου