Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 951
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Σεπ 09, 2019 9:25 pm

Δεν ξέρω αν υπάρχει αντίστοιχη συζήτηση στο :logo: και επειδή είχα αναφέρει στο παρελθόν ότι ίσως καλό θα ήταν να δούμε πως είναι δομημένα μερικά προγράμματα σπουδών φυσικομαθηματικών σχολείων, είπα να δημιουργήσω την παρούσα. Επαν-αφορμή στάθηκε η συζήτηση εδώ, αλλά περισσότερο η παραπομπή στην δημοσίευση του κ. Δημήτρη από τον κ. Λάμπρου που υπάρχει παρακάτω.


Ο λόγος για το φυσικομαθηματικό Λύκειο 57 της Μόσχας. Μερικές αποσπασματικές πληροφορίες.

«Στις μαθηματικές τάξεις του 57 σχολείου παραδοσιακά παραδίδονται τέσσερα μαθήματα του μαθηματικού κύκλου. Είναι η άλγεβρα, γεωμετρία, προγραμματισμός και κύκλος (σπουδών) μαθηματικής ανάλυσης. Τα πρώτα τρία μαθήματα πάνω κάτω είναι τα στάνταρ και ως προς το περιεχόμενο (βεβαίως, συνυπολογίζοντας την εξειδίκευση των μαθηματικών τάξεων) , αλλά και ως προς το τρόπο διδασκαλίας.»

«Ως αναφορά τον κύκλο της μαθηματικής ανάλυσης, τα πράματα είναι διαφορετικά. Καταρχάς, κατά κανόνα, γράφεται (το πρόγραμμα σπουδών του κύκλου) από τους δασκάλους εκ νέου για την εκάστοτε τάξη εισαγωγής (ανεξάρτητα αν θα είναι 3 ή 4 χρόνια). Κατά δεύτερο η ονομασία του κύκλου σπουδών είναι ενδεικτική. Κατά βάση, βέβαια, αποτελείτε από μαθηματική ανάλυση, αλλά πολλά κομμάτια προσδιορίζονται και από τα επαγγελματικά ενδιαφέροντα του δασκάλου. Τρίτον, ο κύκλος σπουδών αποτελείται από ξεχωριστές εργασίες (αναφέρονται ως φυλλάδια/λίστες). Τα φυλλάδια χωρίζονται σε υποχρεωτικά και συμπληρωματικά. Κάθε φυλλάδιο είναι αφιερωμένο σε ένα θέμα του κύκλου σπουδών, περιέχει τους βασικούς ορισμούς, θεωρήματα, καταγραμμένα σε μορφή προβλημάτων και συλλογή ασκήσεων «εφαρμογών». Στην διαδικασία της εκπαίδευσης ο μαθητής λύνει τα προβλήματα του φυλλαδίου, συζητάει τις λύσεις με τους δασκάλους και τις παραδίδει.»

«Το σύστημα των φυλλαδίων είχε πρώτο εισαχθεί την δεκαετία του 60 από τον Ν.Κονσταντίνοβ σε μαθηματικές τάξεις μερικών σχολείων της Μόσχας (7ο, 57ο, 91ο, 179ο). Βάση αυτού του συστήματος αποτελεί η μαιευτική μέθοδος του Σωκράτη. Συμπεριλαμβάνεται στο γεγονός, ότι ο μαθητής κινείται προς την αλήθεια, απαντώντας στις ερωτήσεις του δασκάλου του. Στην εργασία με το σύστημα των φυλλαδίων ακόμα και εξωτερικά το μάθημα φαίνεται παράξενο. Δεν υπάρχει δάσκαλος στον πίνακα, δεν υπάρχει έλεγχος εργασιών για το σπίτι, παράδοση νέου μαθήματος κτλ. Κατά την διάρκεια του μαθήματος στην τάξη βρίσκονται ταυτόχρονα 5-6 καθηγητές μαθηματικών (ονομάζετε ομάδα). Όλοι τους κάθονται στα θρανία σε διαφορετικά σημεία της τάξης και συζητούν με τους μαθητές τους. Με κάθε δάσκαλο στην διάρκεια σπουδών συνήθως συνδέονται 3-4 μαθητές.»

«Σημειώνεται ότι η διαδικασία που εκτελείται στο μάθημα δεν περικλείεται μόνο στα προβλήματα του φυλλαδίου. Ο καθηγητής μπορεί να συζητήσει και άλλους τρόπους λύσεις, να επιστρέψει σε παλιότερα προβλήματα, που συνδέονται με το παρόν θέμα, να θέσει νέα (και λάβει τις λύσεις). Ένας από τους βασικούς σκοπούς αυτού είναι να πληρώσει το κενό μεταξύ των προβλημάτων, η δημιουργία συνολικής εικόνας του θέματος εκμάθησης.

Τα φυλλάδια τα οποία στην διάρκεια τριών τεσσάρων ετών είναι πάνω από πενήντα, υποδιαιρούνται σε υποχρεωτικά και συμπληρωματικά. Στα υποχρεωτικά φυλλάδια επίσης υπάρχουν υποχρεωτικά και συμπληρωματικά προβλήματα.»


Πηγή για τα παραπάνω κομμάτια είναι τα βιβλία

[1] «Η Μαθηματική ανάλυση στο σχολείο 57»
[2] «Στοιχεία μαθηματικών σε προβλήματα, Μέρος 1»
[3] «Στοιχεία μαθηματικών σε προβλήματα, Μέρος 2»


Στην δημοσίευση παρακάτω μπορείτε να βρείτε το φυλλάδιο 17 που έχει ως θέμα την δεκαδική αναπαράσταση των πραγματικών αριθμών, που παραδόθηκε στα πλαίσια της 9ης τάξης, για να επιστρέψουμε έτσι στην αφορμή.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Δευ Σεπ 09, 2019 9:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 951
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Σεπ 09, 2019 9:27 pm

Φυλλάδιο 17: Άπειρα δεκαδικά κλάσματα


Ορισμός 1. 3=2+1, \quad 4=3+1, \quad 5=4+1, \quad 6=5+1, \quad 7=6+1 , \quad 8=7+1, \quad 9=8+1,  \quad 10=9+1.

Ορισμός 2. Η γραφή της μορφής a_{n}a_{n-1} \ldots a_{2}a_{1} , όπου a_{i} είναι ένα από τα δέκα ψηφία (δηλαδή ένα από τα σύμβολα: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) και a_{n} \neq 0, ονομάζεται δεκαδική αναπαράσταση φυσικού αριθμού.

Πρόβλημα 1. Δώστε τον ορισμό της τιμής της δεκαδικής αναπαράστασης ενός φυσικού αριθμού.

Πρόβλημα 2. Δώστε τον ορισμό της δεκαδικής αναπαράστασης ενός ακέραιου αριθμού καθώς και της τιμής του.

Ορισμός 3. Η γραφή της μορφής \pm A,a_{1}a_{2}\ldots a_{n}, όπου A δεκαδική αναπαράσταση φυσικού αριθμού ή 0 και a_{i} ψηφία, ονομάζεται πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα. Αν η γραφή του ξεκινάει με το σύμβολο του συν, τότε συνήθως παραλείπεται.

Πρόβλημα 3. Δώστε τον ορισμό της τιμής ενός πεπερασμένου δεκαδικού κλάσματος.

Πρόβλημα 4. α) Γράψτε στην μορφή πεπερασμένου δεκαδικού κλάσματος τους αριθμούς \dfrac{42}{125}, -\dfrac{57}{1250}, \dfrac{13}{25}.
β) Γράψτε στη μορφή συνήθους κλάσματος τους αριθμούς -7,23  \quad 4,165 \quad -3,6489.

Ορισμός 4. Η γραφή της μορφής \pm A,a_{1}a_{2}\ldots, όπου A δεκαδική αναπαράσταση φυσικού αριθμού ή 0 και a_{i} ψηφία, ονομάζεται άπειρο δεκαδικό κλάσμα (ΑΔΚ).

Ορισμός 5. Τιμή ενός άπειρου δεκαδικού κλάσματος \pm A,a_{1}a_{2}\ldots ονομάζεται ο αριθμός \pm sup \{A,a_{1}a_{2} \ldots a_{n} | n \in \mathbb{N} \}. Τα ΑΔΚ με ίσες τιμές ονομάζονται δίδυμοι.

Πρόβλημα 5. Αποδειξτε την σωστότητα του ορισμού 5.

Πρόβλημα 6. Γράψτε στην μορφή ΑΔΚ τους : -\dfrac{1}{3} , \quad \dfrac{22}{7}, \quad \dfrac{19}{33}.

Πρόβλημα 7. Γράψτε στην μορφή συνήθους κλάσματος τους αριθμούς: 15,(2)  \quad -2,(08) \quad 3,(9).

Πρόβλημα 8. Αποδείξτε ότι για αποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x υπάρχει τουλάχιστον ένα ΑΔΚ, η τιμή του οποίου ισούται με x.

Ορισμός 6. Το ΑΔΚ A,a_{1} \ldots ονομάζεται περιοδικό, αν υπάρχουν τέτοιοι φυσικοί αριθμοί k και n, ώστε για όλα τα l \geq k να ικανοποιείται a_{l+n}=a_{l}. Η ελάχιστη δυνατή τιμή του n ονομάζεται περίοδος του ΑΔΚ.

Πρόβλημα 9. Να αποδείξεται ότι ένα ΑΔΚ είναι περιοδικό αν και μόνο αν, η τιμή του είναι ρητός αριθμός.

Πρόβλημα 10. Να αποδείξεται ότι το σύνολο των περιοδικών ΑΔΚ είναι αριθμήσιμο.

Πρόβλημα 11. Να αποδείξεται ότι δυο ΑΔΚ είναι δίδυμα αν και μόνο αν, μέχρι ένα σημείο συμπίπτουν και ύστερα έχουν την μορφή a99 \ldots ή (a+1)00 \ldots

Πρόβλημα 12. Να αποδείξεται ότι οι περιόδοι των κλασμάτων \dfrac{37}{2005} και  \dfrac{1968}{2005} είναι ίσες.

Ορισμός 7. Το ΑΔΚ A,a_{1} \ldots δεν είναι μικρότερο του ΑΔΚ B,b_{1} \dots , αν ικανοποιείται τουλάχιστον μία από τις παρακάτω συνθήκες:
1) A > B
2) A=B και υπάρχει τέτοιο n \in \mathbb{N} , ώστε a_{k}=b_{k} για k < n και A \cdot a_{n} > A \cdot b_{n}.
3) Τα A,a_{1} \ldots και B,b_{1} \dots είναι δίδυμοι.

Πρόβλημα 13. Να αποδείξετε ότι ένα μη αρνητικό ΑΔΚ δεν είναι μικρότερο ενός άλλου αν και μόνο αν, η τιμή του πρώτου δεν είναι μικρότερη της τιμής του δεύτερου.

Πρόβλημα 14. Δώστε τον ορισμό του αθροίσματος και του πολλαπλασιασμού πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων.

Πρόβλημα 15*. (1) Σχηματίστε τον ορισμό των πραγματικών αριθμών με όρους ΑΔΚ. Αποδείξτε την ισοδυναμία αυτού του ορισμού με τον ορισμό του πραγματικού αριθμού από την λίστα "Πραγματικοί αριθμοί" (2).

Πρόβλημα 16*. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ΑΔΚ μπορούμε να μεταθέσουμε τα ψηφία έτσι, ώστε να γίνει περιοδικό.



(1) Με αστεράκι είναι τα συμπληρωματικά προβλήματα. Να σημειώσω ότι παρότι δεν είναι υποχρεωτικά, το κλίμα στην τάξη είναι τέτοιο που σχεδόν όλοι μαθητές ασχολούνται και παραδίδουν λύσεις.

(2) Οι πραγματικοί αριθμοί έχουν εισαχθεί σε προηγούμενο φυλλάδιο ως πλήρες πεδίο με διάταξη.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11281
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 09, 2019 10:54 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Σεπ 09, 2019 9:27 pm

Ορισμός 5. Τιμή ενός άπειρου δεκαδικού κλάσματος \pm A,a_{1}a_{2}\ldots ονομάζεται ο αριθμός \pm sup \{A,a_{1}a_{2} \ldots a_{n} | n \in \mathbb{N} \}. Τα ΑΔΚ με ίσες τιμές ονομάζονται δίδυμοι.

Πρόβλημα 5. Αποδειξτε την σωστότητα του ορισμού 5.
Καλό.

Μου θύμισε την πρόσφατη συζήτηση που είχαμε για την ισότητα 0,9999... =1.

Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, η ισότητα είναι άμεση.

Μου θυμίζει ένα σχόλιο του Αριστοτέλη σε ένα σημείο όπου συζητά την ισότητα λόγων. Τους ορίζει ως ίσους όταν έχουν την ίδια ανθυφαίρεση (ή ανταναίρεση, όπως την ονομάζει ο ίδιος). Λέει λοιπόν εκεί ότι ένας ορισμός είναι καλός όταν οι ιδιότητες που απορρέουν είναι άμεσες, και δίνει το παράδειγμα του θεωρήματος "ο λόγος των εμβαδών δύο ορθογωνίων παραλληλογράμμων με ίσα ύψη είναι ίσος με τον λόγο των βάσεων", του οποίου η απόδειξη με ανθυφαίρεση είναι σχεδόν μονολεκτική.

Ο παραπάνω ορισμός της τιμής άπειρου δεκαδικού κλάσματος περνάει την βάσανο του κριτηρίου του Αριστοτέλη.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Σεπ 10, 2019 12:04 pm

Ιδιαίτερα κομψή κατασκευή και δίνει και μια ωραία άποψη για τους πραγματικούς, βασισμένη στη δεκαδική τους αναπαράσταση. Πράγματι, ο ορισμός των διδύμων και γενικότερα της τιμής ενός ΑΔΚ μας «λύνει τα χέρια», ωστόσο, έχω την εντύπωση ότι έχουμε πολύ δρόμο ακόμα μέχρι να δούμε πρωτοβουλία για φυσικομαθηματικά σχολεία στην Ελλάδα.

Παρ' όλα αυτά, δε θα μου φαινόταν άσχημη η πρωτοβουλία τέτοιες ασκήσεις/φυλλάδια να γίνουν μέρος ενός μαθήματος απειροστικού (ή ενός μαθήματος συμπληρωματικού στον απειροστικό), τουλάχιστον σε πρώτο επίπεδο.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διδακτική των Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης