Ολοκλήρωμα
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 09, 2026 11:02 am
Να υπολογιστεί
![\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^3} + \sqrt[3]{x^2+2x}\, dx](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5f4897b884ee4139525f69afac67073e.png "\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^3} + \sqrt[3]{x^2+2x}\, dx")
mathematica.gr
Ολοκλήρωμα
Σελίδα 1 από 1
Re: Ολοκλήρωμα
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 09, 2026 1:24 pm
Καλό είναι η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση να τεθεί εντός παρένθεσης.
Re: Ολοκλήρωμα
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 09, 2026 4:23 pm
![\int_{0}^{2} \left (\sqrt{1+x^3} + \sqrt[3]{x^2+2x}\, \right ) dx](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8c2db97df9d8e6f4771cfa34ffa3823e.png "\int_{0}^{2} \left (\sqrt{1+x^3} + \sqrt[3]{x^2+2x}\, \right ) dx")
στο ![[0,\,2]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/846f74856a1cfee21eb54548bbb21f23.png "[0,\,2]")
για την οποία εύκολα βλέπουμε ότι ![f^{-1}(x)= \sqrt [3]{x^2-1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c1c7229766f104b00a8c41c1d6525113.png "f^{-1}(x)= \sqrt [3]{x^2-1}")
στο ![[f(0), \, f(2)]= [1,\, 3]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ba08205427ddb0f2a6156e6f6bd55bbd.png "[f(0), \, f(2)]= [1,\, 3]")
. 
δίνει ![\int_{0}^{2} \sqrt[3]{x^2+2x}\, dx = \int_{0}^{2} \sqrt[3]{(x+1)^2-1} = \int_{1}^{3} \sqrt[3]{t^2-1} \,dt = \int_{1}^{3} \sqrt[3]{x^2-1} \,dx](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cebf597ebe8a3dc2de77b10f847d2c35.png "\int_{0}^{2} \sqrt[3]{x^2+2x}\, dx = \int_{0}^{2} \sqrt[3]{(x+1)^2-1} = \int_{1}^{3} \sqrt[3]{t^2-1} \,dt = \int_{1}^{3} \sqrt[3]{x^2-1} \,dx")
![\displaystyle{\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^3} \,dx+\int_{1}^{3} \sqrt[3]{x^2-1} \,dx = \int _0^2f(x)dx+ \int _{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)dx= 2f(2)-0\cdot f(0)= 2\cdot 3-0= \boxed {6}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/74ee768e99c4260e9715355853e306f7.png "\displaystyle{\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^3} \,dx+\int_{1}^{3} \sqrt[3]{x^2-1} \,dx = \int _0^2f(x)dx+ \int _{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)dx= 2f(2)-0\cdot f(0)= 2\cdot 3-0= \boxed {6}}")
Re: Ολοκλήρωμα
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 10, 2026 1:44 pm
![\int_{0}^{2}(\sqrt{x^{3}+1}+\sqrt[3]{x^{2}+2x})dx=\int_{0}^{2}(xf(x)){'}dx=2f(2)=6](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f0abaf429cdc624bb76ac13043571f06.png "\int_{0}^{2}(\sqrt{x^{3}+1}+\sqrt[3]{x^{2}+2x})dx=\int_{0}^{2}(xf(x)){'}dx=2f(2)=6")