Γεωμετρική ανισότητα σε ισόπλευρο τρίγωνο

#1

Έστω

ένα σημείο στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου ABC

πλευράς

.
Αν οι

τέμνουν αντίστοιχα τις πλευρές BC, CA, AB

στα σημεία D, E, F

τότε να αποδείξετε ότι:

PD+PE+PF<1

S.E.Louridas · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 21, 2023 1:09 pm
Έστω ένα σημείο στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς . Αν οι τέμνουν αντίστοιχα τις πλευρές στα σημεία τότε να αποδείξετε ότι:

Παρατηρούμε για τις Σεβιανές AD, BE, CF

που διέρχονται από το

ότι:

$\displaystyle{AD,\;BE,\;CF \leqslant 1 \Rightarrow \,PD \leqslant \frac{{PD}}{{AD}}\;\left( 1 \right),\,PE \leqslant \frac{{PE}}{{BE}}\;\left( 2 \right),\,PF \leqslant \frac{{PF}}{{CF}}\;\left( 3 \right)}$ χωρίς οι (1), (2), (3)

να ισχύουν όλες ταυτόχρονα.

Άρα παίρνουμε $\displaystyle{PD + PE + PF < \frac{{PD}}{{AD}} + \frac{{PE}}{{BE}} + \frac{{PF}}{{CF}} = 1.}$

Σημαντική παρατήρηση: Η σχέση $\displaystyle{\frac{{PD}}{{AD}} + \frac{{PE}}{{BE}} + \frac{{PF}}{{CF}} = 1}$ είναι γνωστή πρόταση που αφορά σε Σεβιανές που διέρχονται από κοινό μη εξωτερικό σημείο σε τυχόν τρίγωνο, και ενας τρόπος απόδειξης είναι με χρήση του βασικού τύπου του εμβαδού τριγώνου (συγκεκριμένα και τελικά για την απόδειξη χρησιμοποιούμε ότι ο λόγος των εμβαδών δύο τριγώνων ίδιας βάσης ισούται με τον λόγο των αντίστοιχων υψών τους).

#3

Έστω

οι προβολές των A,P

στην

. Έχουμε $AD_A = \sqrt{3}/2$ και AD < 1

. Άρα $\displaystyle PD = \frac{(AD)(PD_P)}{AD_A} < \frac{2}{\sqrt{3}} (PD_P)$

Ομοίως, με τους ανάλογους συμβολισμούς, έχουμε $\displaystyle PE < \frac{2}{\sqrt{3}} (PE_P)$ και $\displaystyle PF = \frac{2}{\sqrt{3}} (PF_P)$

Όμως $\displaystyle PD_P + PE_P + PF_P = 2E_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ και άρα PD + PE + PF < 1

.

#4

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 21, 2023 1:09 pm
Έστω ένα σημείο στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου
πλευράς .
Αν οι τέμνουν αντίστοιχα τις πλευρές στα σημεία
τότε να αποδείξετε ότι:

Φέρνω

όπως φαίνεται στο σχήμα.

: Ανισότητα σε ισόπλευρο.png (13.68 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

Το

είναι ισόπλευρο, άρα PD<MK.

Έχουμε λοιπόν:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} PD < MK \hfill \\ PE = KL < KC \hfill \\ PF = MN < BM \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow PD + PE + PF < MK + KC + BM = BC \Leftrightarrow$ $\boxed{PD+PE+PF<1}$

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ: Έστω ένα σημείο στο εσωτερικό τριγώνου Αν οι τέμνουν τις πλευρές

στα σημεία αντίστοιχα, τότε $PD+PE+PF<\max (a, b, c).$

S.E.Louridas · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 22, 2023 6:45 pm
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ: Έστω ένα σημείο στο εσωτερικό τριγώνου Αν οι τέμνουν τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα, τότε $PD+PE+PF<\max (a, b, c).$

Αν λάβουμε υπόψη ότι η μεγαλύτερη από τρεις Σεβιανές είναι μικρότερη ή ίση από το $\max (a,b,c)$ , μπορούμε να εφαρμόσουμε την ίδια ακριβώς ημέτερη μέθοδο επίλυσης που ανέπτυξα πιο πάνω.

Γεωμετρική ανισότητα σε ισόπλευρο τρίγωνο

Γεωμετρική ανισότητα σε ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Γεωμετρική ανισότητα σε ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Γεωμετρική ανισότητα σε ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Γεωμετρική ανισότητα σε ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Γεωμετρική ανισότητα σε ισόπλευρο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση