Ολοκλήρωμα

mick7 · #1

Να βρεθεί το αόριστο ολοκλήρωμα.

$\displaystyle \int e^xsin^{-1}(e^x)dx$

Tolaso J Kos · #2

mick7 έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 18, 2023 5:59 pm
Να βρεθεί το αόριστο ολοκλήρωμα.

$\displaystyle \int e^xsin^{-1}(e^x)dx$

$\displaystyle{\begin{aligned} \int e^x \arcsin e^x \, \mathrm{d}x & \overset{y = e^x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int \arcsin y \, \mathrm{d}x \\ &= y \arcsin y - \int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\, \mathrm{d}x \\ &= y \arcsin y + \sqrt{1-y^2} \\ &= e^x \arcsin e^x + \sqrt{1-e^{2x}} + c \end{aligned}}$

#3

mick7 έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 18, 2023 5:59 pm
Να βρεθεί το αόριστο ολοκλήρωμα.

$\displaystyle \int e^xsin^{-1}(e^x)dx$

Θέτοντας

, το ολοκλήρωμα γίνεται $\displaystyle{\int \sin ^{-1} tdt}$ . Aυτό είναι γνωστό και απλό ολοκλήρωμα. Γίνεται με ολοκλήρωση κατά μέρη. Δίνει

$\displaystyle{t \sin ^{-1} t - \int \dfrac {t} {\sqrt {1-t^2} }dt = t \sin ^{-1}t + \sqrt {1-t^2} + c = e^x \sin ^{-1} ( e^x) + \sqrt {1-e^{2x}} + c }$

Edit: Με πρόλαβε ο Τόλης, με την ίδια μέθοδο. Το αφήνω για τον κόπο.

mick7 · #4

Ευχαριστώ για τις λύσεις. Βάζω την πηγή ---> https://www.barnesandnoble.com/w/100-in ... 1143874861

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση