Μια ακόμη παραμετρική εξίσωση...

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6819
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Μια ακόμη παραμετρική εξίσωση...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Ιούλ 24, 2019 10:38 pm

Για ποιες τιμές της παραμέτρου α η εξίσωση x^{4}+2ax^{3}+x^{2}+2ax+1=0
έχει δύο τουλάχιστον διακεκριμένες αρνητικές ρίζες.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3917
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μια ακόμη παραμετρική εξίσωση...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Ιούλ 24, 2019 11:35 pm

Απάντηση: Πρέπει a>\dfrac{3}{4}

Πρόκειται για αντίστροφη εξίσωση. Αν διαιρέσουμε με x^2\neq 0 (Το 0 δεν είναι λύση της εξίσωσης) και θέσουμε x+\dfrac{1}{x}=u τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή u^2+2au-1=0 η οποία έχει πάντοτε 2 πραγματικές και άνισες λύσεις τις

u=\sqrt{a^2+1}-a και u=-\sqrt{a^2+1}-a

Επειδή οι ρίζες θέλουμε να είναι διακεκριμένες και αρνητικές άρα x+\dfrac{1}{x}<0 και ως γνωστόν επειδή x+\dfrac{1}{x}\leq -2 και

\sqrt{a^2+1}-a>-2 για κάθε a\in\mathbb{R}, άρα πρέπει x+\dfrac{1}{x}=-a-\sqrt{a^2+1}. Όμως με σταθερό u, η εξίσωση x+\dfrac{1}{x}=u γράφεται ισοδύναμα x^2-ux+1=0 με διακρίνουσα u^2-4 η οποία για u<-2 (αφού πρέπει u<0) έχει 2 άνισες (και προφανώς αρνητικές) λύσεις.

Άρα τελικά η αρχική εξίσωση έχει 2 αρνητικές και άνισες λύσεις αν και μόνο αν -a-\sqrt{a^2+1}<-2 που δίνει a>\dfrac{3}{4}.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης