Ορισμός Αριθμού;

[S.E.Louridas]

Αν κάποιος μας ρωτούσε για βασική Μαθηματική κουβέντα για κατανόηση:

Α) Στην ερώτηση: Υπάρχει 100% αποδεκτός ορισμός για την έννοια: Φυσικός Αριθμός (με την Πυθαγόρεια αντίληψη του πράγματος)

τι κατά την γνώμη μας θα απαντούσαμε;

Β) Τι θα λέγαμε αν μας την έκανε την ίδια ερώτηση ένας καλός μαθητής του εδώ " αθλήματος " ;

[stranger]

Αν κάποιος μας ρωτούσε για βασική Μαθηματική κουβέντα για κατανόηση:

Α) Στην ερώτηση: Υπάρχει 100% αποδεκτός ορισμός για την έννοια: Φυσικός Αριθμός (με την Πυθαγόρεια αντίληψη του πράγματος)

τι κατά την γνώμη μας θα απαντούσαμε;

Β) Τι θα λέγαμε αν μας την έκανε την ίδια ερώτηση ένας καλός μαθητής του εδώ " αθλήματος " ;

Η δικιά μου αντίληψη λέει ότι οι αριθμοί απλά υπάρχουν ανεξάρτητα πως θα τους ορίσουμε. Οι σύγχρονοι ορισμοί δεν στέκονται στην αληθινή φύση του αριθμού απλά κρατάνε τις ιδιότητες που οι αληθινοί αριθμοί έχουν και συνεχίζουν. Ορίζουν δηλαδή ισομορφα αντικείμενα. Η αληθινή φύση του αριθμού δεν είναι κάτι που απασχολεί τη σύγχρονη μαθηματική επιστήμη αλλά στέκονται μόνο στις ιδιότητες τους για να κάνουν τη δουλειά τους με λίγα λόγια.

[Nikitas K.]

Αν κάποιος μας ρωτούσε για βασική Μαθηματική κουβέντα για κατανόηση:

Α) Στην ερώτηση: Υπάρχει 100% αποδεκτός ορισμός για την έννοια: Φυσικός Αριθμός (με την Πυθαγόρεια αντίληψη του πράγματος)

τι κατά την γνώμη μας θα απαντούσαμε;

Β) Τι θα λέγαμε αν μας την έκανε την ίδια ερώτηση ένας καλός μαθητής του εδώ " αθλήματος " ;

Οι παρακάτω έννοιες με την αντίστοιχη προτεραιότητα ορίζουν επακριβώς την έννοια του αριθμού:

• Προτασιακή και Κατηγορηματική Λογική

• ZF(C) - Αξιωματική θεωρία συνόλου

• 
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Αυτός ο ορισμός φυσικών αριθμών οφείλεται στον Τζον φον Νόιμαν.
Πηγή: Ιαπωνική Wikipedia

Προτείνω και ένα βίντεο σχετικό με το θέμα: What are Numbers Made of? | Infinite Series

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Φυσικός Αριθμός (με την Πυθαγόρεια αντίληψη του πράγματος)

Χαίρετε,

είναι εύκολο να δώσετε μια-δυο κατευθύνσεις ως προς το τι σημαίνει αυτό?

(Αναφέρομαι στο "Πυθαγόρεια αντίληψη των (φυσικών) αριθμών")

[ksofsa]

...

[S.E.Louridas]

Φυσικός Αριθμός (με την Πυθαγόρεια αντίληψη του πράγματος)

αίρετε, είναι εύκολο να δώσετε μια-δυο κατευθύνσεις ως προς το τι σημαίνει αυτό? (Αναφέρομαι στο "Πυθαγόρεια αντίληψη των (φυσικών) αριθμών")

Οι Πυθαγόρειοι δεν θεωρούσαν τον ( 0 ) μηδέν φυσικό αριθμό.

Επί τη ευκαιρία επιτρέψτε μου να κάνω μία επισήμανση - ερώτηση: Πόσο μπορούμε να " βάλουμε " νερό στο κρασί χάρη του βωμού της κατανόησης (κάτι που ήδη γίνεται και από τις επίσημες από το ΙΕΠ κατευθύνσεις), ώστε όταν θα έρθει η ώρα της τεκμηρίωσης κάποιων γενικότερων μαθηματικών απόψεων - προτάσεων να γίνει αποδεκτή ή όχι η λογική μαθηματική αποδεικτική διαδικασία;
Για παράδειγμα ως εκ των κριτών κάποιων εργασιών εκ μέρους της Ε.Μ.Ε., και από κάποιους που είχαν εκπονήσει τον τετραγωνισμό του κύκλου, τράβαγα τα μέγιστα να τους πείσω (αν τελικά πείθονταν) ότι αυτό με τα δεδομένα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι αδύνατο πρόβλημα.

[stranger]

Φυσικός Αριθμός (με την Πυθαγόρεια αντίληψη του πράγματος)

αίρετε, είναι εύκολο να δώσετε μια-δυο κατευθύνσεις ως προς το τι σημαίνει αυτό? (Αναφέρομαι στο "Πυθαγόρεια αντίληψη των (φυσικών) αριθμών")

Οι Πυθαγόρειοι δεν θεωρούσαν τον ( 0 ) μηδέν φυσικό αριθμό.

Επί τη ευκαιρία επιτρέψτε μου να κάνω μία επισήμανση - ερώτηση: Πόσο μπορούμε να " βάλουμε " νερό στο κρασί χάρη του βωμού της κατανόησης (κάτι που ήδη γίνεται και από τις επίσημες από το ΙΕΠ κατευθύνσεις), ώστε όταν θα έρθει η ώρα της τεκμηρίωσης κάποιων γενικότερων μαθηματικών απόψεων - προτάσεων να γίνει αποδεκτή ή όχι η λογική μαθηματική αποδεικτική διαδικασία;
Για παράδειγμα ως εκ των κριτών κάποιων εργασιών εκ μέρους της Ε.Μ.Ε., και από κάποιους που είχαν εκπονήσει τον τετραγωνισμό του κύκλου, τράβαγα τα μέγιστα να τους πείσω (αν τελικά πείθονταν) ότι αυτό με τα δεδομένα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι αδύνατο πρόβλημα.

Κύριε Λουρίδα, νομίζω πρέπει να διαχωρίσουμε τα μαθηματικά από τη φιλοσοφία. Ναι μεν τα μαθηματικά έχουν ένα φιλοσοφικό χαρακτήρα αλλά το ύφος τους είναι διαφορετικό. Είναι πιο πρακτικό θα έλεγα εγώ αν καταλαβαίνετε τι θέλω να πω.

[S.E.Louridas]

... Ιάσωνας: (είναι εύκολο να δώσετε μια-δυο κατευθύνσεις ως προς το τι σημαίνει αυτό? (Αναφέρομαι στο "Πυθαγόρεια αντίληψη των (φυσικών) αριθμών")
Κύριε Λουρίδα, νομίζω πρέπει να διαχωρίσουμε τα μαθηματικά από τη φιλοσοφία. Ναι μεν τα μαθηματικά έχουν ένα φιλοσοφικό χαρακτήρα αλλά το ύφος τους είναι διαφορετικό. Είναι πιο πρακτικό θα έλεγα εγώ αν καταλαβαίνετε τι θέλω να πω.

Αν και δεν το συνηθίζω κ. Σμπώκο, σε αυτόν τον χώρο και σε επιστημονικά μαθηματικά θέματα (αφού από ένα σημείο και μετά υπάρχουν συνεδρία, επιστημονικές επιτροπές κρίσης, αντίστοιχα περιοδικά κύρους κτλ.) να απαντώ επί προσωπικού επιστημονικά πέραν του εδώ επιτρέποντος, θα το κάνω λιτά για εσάς επειδή θεωρώ ότι ως ερευνητής εμβαθύνετε και μάλιστα με απόψεις που επιστημονικά είναι ήδη αποδεκτές και υπάρχουν αναφορές πιστοποίησης και θεωρώντας επίσης ότι κατέχετε ισχυρή πλατφόρμα (βιβλία, άρθρα τεκμηρίωσης κτλ.). Θεωρώ ότι είναι προαπαιτούμενο στοιχείο οι αποδεκτές επιστημονικές αναφορές, σε αντίθεση με την προσωπική μας ερμηνεία Λιτά λοιπόν δηλώνω ότι δεν καταλαβαίνω τι θέλετε να πείτε και μάλλον φταίω εγώ για αυτό. Μάλιστα θα σας ζητούσα να μου συστήσετε αξιόπιστες πηγές που για παράδειγμα να τεκμηριώνουν ότι η μη αποδοχή του μηδενός ως αριθμού από τους Πυθαγόρειους είχε μόνο φιλοσοφική βάση, αλλά και η μεταγενέστερη άποψη που πολύ αργότερα το σύνολο των συμπληρώθηκε με ουδέτερο στοιχείο (μήπως απλά οδήγησε στην παραδοχή αυτή η αυστηροποίηση της Άλγεβρας;). Παρακάτω για την "συμπλήρωση" αυτή αναφέρθηκα με παραπομπή για να απαντήσω στον Ιάσωνα.

Επι τη ευκαιρία αναφερόμενος στον Ιάσωνα θα εξηγήσω παραθέτοντας αυτολεξεί πχ. την σπουδαία παρατήρηση από το βιβλίο Μαθήματα Κλασικής Ανάλυσης του Καθηγητού Πανεπιστημίου Πατρών κκ. Λάμπρου Ντόκα στο κεφάλαιο περί θεμελίωσης των φυσικών αριθμών. ... Αρκετά μετά λοιπόν τη θεμελίωση των φυσικών έχει την Παρατήρηση: Το σύνολο των φυσικών αριθμών όπως ορίστηκε, συμπληρώνεται με ένα στοιχείο που ορίζεται ως ουδέτερο στοιχείο, ήτοι . Έτσι συμβολίζουμε

(*) Θαλής (624-546) (Ο θεμελιωτής της αυστηρής λογικής απόδειξης, ως επιστημονικού τρόπου τεκμηρίωσης),
Πυθαγόρας (580-490) (Διδάχτηκε και ξεχωρίστηκε από τον Θαλή, από Wikipedia κτλ.)

[ksofsa]

...

[S.E.Louridas]

Ας πάμε τώρα και στις προθέσεις. Τυγχάνει να είμαι ενάντια στην άποψη ότι δεν πρέπει να κάνουμε δίκη προθέσεων, τουναντίον μάλιστα. Όσο με αφορά ήθελα να εκκινήσω την Μαθηματική αυτή κουβέντα, ώστε να αναδειχτεί κατά κάποιο ποσοστό ένα κατανοητό είδος διδασκαλίας της έννοιας Αρχικος Αριθμός για να κατανοήσουν τελικά τα παιδιά την αναγκαιότητα της δημιουργίας της έννοιας αυτής στην αρχική τους φάση εκκίνησης της λήψης γνώσης. Προφανώς και δεν είχα ως πρόθεση να εισέρθω στα μονοπάτια της σύγχρονης αυστηρής άλγεβρας, θα ήταν για μένα μέγα ατόπημα. Εκ κατακλείδι, για να παρουσιάσουμε τουλάχιστον μία αρχική έννοια και τελικά μαθηματική πορεία λογικών συνδυασμών σε περιβάλλον εξειδικευμένης μελέτης θα πρέπει να αναβιώσουμε την δική μας πορεία από την αρχική φάση. Μετά από καιρό λοιπόν και εξειδικεύοντας την μαθηματική μου γνώση προς την αυστηρότητα, το πλησίασμα που προσωπικά με εκφράζει είναι: Φυσικός αριθμός σημαίνει Κλάση κλάσεων, για παράδειγμα βλέπουμε τρεις ανθρώπους, τρία δένδρα, τρείς πέτρες ... την κοινή αίσθηση που μου δίνει η εδώ επανάληψη την ονομασαμε τρία κτλ. και εδώ μετά καλούμαι να επανέρθω για να την εκφράσω τελείως απλά, τουλάχιστον όσο μπορώ. Κάθε λοιπόν αριθμός από αυτούς που είπαμε εκφράζει μία συγκεκριμμένη ύπαρξη. Καταρχάς λοιπόν θα δώσουμε και ένα είδος οντότητας στην κατάσταση Ανυπαρξία δηλαδή του "τίποτα" και έτσι απλά (καταρχάς) λέμε ότι για αυτή χρησιμοποιούμε το μηδέν ( 0 ). Η πρόθεση μου λοιπόν ήταν και μόνο σε αυτή την αρχική στιγμή γνώσης τι κάνουμε. Πάντως σίγουρα ο διδάσκων έχει κάποιες διδακτικές δυνατότητες για την επαφή με τον αριθμό. Δηλαδή μέσω Ποσότητας ή Σειράς ή πλήθους ... Ας μη το ανοίξουμε εδώ λοιπόν το θέμα δίκης ασκού του Αιόλου ... και διώξουμε τον κόσμο ως φοβούμενο πλήθος ... αντί να τον προσελκύσουμε ...

[math800]

Το τέλμα στο οποίο βρέθηκαν τα μαθηματικά εξαιτίας των παραδόξων (του Russel κτλ) , ανέδειξε την ανάγκη της θεμελίωσης των μαθηματικών εννοιών ξέχωρα από την εμπειρία. Έγινε σαφές ότι η θεωρία συνόλων του Cantor είναι το κατάλληλο πλαίσιο για να ξεκαθαρίσει η κατάσταση , παρόλο που η θεωρία και ο ίδιος ο Cantor πολεμήθηκαν λυσαλέα στην αρχή (ο Kronecker π.χ. έκανε τα πάντα για να φρενάρει την ακαδημαική εξέλιξη του Cantor).

Η έννοια του αριθμού είναι τόσο πρωταρχική , που για να οριστεί χρειάζεται η χρήση ενός εντελώς στοιχειώδους αντικειμένου , το οποίο λαμβάνεται από τον κόσμο των συνόλων. Για το λόγο αυτό η κατασευή του Von Neuman είναι μεγαλοφυής. Ο αριθμός ορίζεται μέσω του κενού συνόλου όπως έγραψε παραπάνω ο Nikitas K.

Το κενό σύνολο δε σηκώνει αμφισβήτηση ως προς την εσωτερική του συνέπεια. Είναι άδειο από στοιχεία , οπότε δε τίθεται κανένα θέμα για το αν είναι καλώς ορισμένο. Είναι επίσης το απλούστερο μαθηματικό κατασκεύασμα, αυτό που λέμε "τίποτα" στην καθομιλουμένη. Αυτό (νομίζω) οδήγησε τον Von Neuman στο να ορίσει το 0 ως το { } . Μετά έρχεται η δεύτερη μεγάλη ιδέα , αλλά όχι τόσο μεγάλη όσο η πρρώτη , το 1 = { { } } , δηλαδή το 1 είναι το σύνολο που περιέχει το κενό σύνολο , το οποίο δεν έχει στοιχεία. Ύστερα προχωράει επαγωγικά και ορίζει όλους τους φυσικούς αριθμούς , βάζοντας κάθε φορά ένα ακόμα άδειο μπαλόνι μέσα στο προηγούμενο άδειο μπαλόνι (συνάρτηση του επομένου όπως λέμε σήμερα) .

υ.γ. Η κατασκευή αυτή είναι τόσο απλή που μπορεί να διδαχτεί στην Α λυκείου.

υ.γ. Θυμάμαι τον καθηγητή Μοσχοβάκη να μας το δείχνει στην τάξη πριν 20 χρόνια σχεδόν και να μας πέφτουν τα σαγόνια στο πάτωμα.

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Ας επιδιώξουμε έναν συγκερασμό.

Υπάρχουν οι φυσικοί αριθμοί?

Κατ' αρχάς είναι πιο εύστοχο να αντιμετωπίσουμε τη λέξη αριθμός σαν επίθετο παρά σαν ουσιαστικό (όπως γραμματικά είναι).
Από αυτή τη σκοπιά η λέξη "αριθμός" εκφράζει ένα μοτίβο, έναν τρόπο συμπεριφοράς τον οποίο μπορεί να έχει ή όχι μια συλλογή αντικειμένων.

Στη συνημμένη εικόνα ο πίνακας με τα χρώματα κατασκευάστηκε έχοντας οδηγό τον πίνακα με τα αριθμητικά στοιχεία (ας μου συγχωρεθεί το μη Πυθαγόρειο μηδέν στον δεύτερο πίνακα)!

Τα χρώματα στον πρώτο πίνακα υποδύονται, ερμηνεύουν, ενσαρκώνουν τους φυσικούς αριθμούς.
Παρουσιάζουν αριθμητική συμπεριφορά και δεν είναι λιγότερο φυσικοί αριθμοί από τα μέλη του κάτω πίνακα!
(Είναι η ισομορφία που λέει ο Κωνσταντίνος)

Παρομοίως μία χούφτα πέτρες εφ' όσον αλληλεπιδρούν μεταξύ τους καταλλήλως μπορεί επίσης να θεωρηθεί ότι παρουσιάζουν αριθμητική συμπεριφορά (οπως επίσης έγραψε ο Κωνσταντίνος, δεν έχει σημασία η φύση των αριθμών)!

Υπό αυτό το πρίσμα οι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν στο βαθμό που αναγνωρίζουμε ότι έστω και δυνητικά μπορεί να υποστασιοποιηθεί το μοτίβο που αντιπροσωπεύουν.

Παρ' ότι θα μπορούσαμε και με υλικά στοιχεία να ενσαρκώσουμε έστω ένα μικρό κομμάτι των φυσικών αριθμών, κάτι τέτοιο μαθηματικώς είναι αδιάφορο (θα μπορούσε όμως να έχει διδακτική αξία). Στα μαθηματικά εν γένει θεωρείται πως ένα μοτίβο υπάρχει, αν μπορεί να υποστασιοποιηθεί στα πλαίσια της συνολοθεωρίας ZF (ή ZFC για τους πιο χαλαρούς) με σύνολα τα οποία η θεωρία αυτή τυπικά αποδεικνύει πως υπάρχουν.

Τι σημαίνει "να ορίσουμε τους φυσικούς αριθμούς"?

Για να δώσουμε τον ορισμό των φυσικών αριθμών πρέπει να εκφράσουμε έναν επαρκή προσδιορισμό τους,
δηλαδή να ξεχωρίσουμε τις ιδιότητες που τους χαρακτηρίζουν.
Αυτό μπορεί να γίνει με δυο τρόπους:

Α) Άμεσα, με την αξιωματική μέθοδο, καταγράφοντας συστηματικά (και γραφειοκρατικά) ένα σύνολο βασικών ιδιοτήτων από τις οποίες παράγονται λογικά (αποδεικνύονται) όλες οι ιδιότητες των φυσικών αριθμών.

Β) Έμμεσα, δίνοντας ένα παράδειγμα δομής που αποτελεί το golden standard του πράγματος που θέλουμε να ορίσουμε. Οι προσδιορίζουσες ιδιότητες προκύπτουν (έμμεσα) ως εκείνες που αληθεύουν σε αυτή τη δομή.

Το (original) αξιωματικό σύστημα του Peano (https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms) ακολουθεί τον τρόπο Α) και προσδιορίζει με προσέγγιση ισομορφισμού ένα μοναδικό μοντέλο φυσικών αριθμών (το τυπικό μοντέλο της αριθμητικής).
Αλλά έχει κόστος! Είναι θεωρία δευτεροβάθμιας λογικής. Το αξίωμα επαγωγής του Peano θέτει καθολικό ποσοδείκτη σε μεταβλητή συνόλων φυσικών αριθμών.
Αξίζει επίσης να σημειωθεί οτι αφ' ού βασίζεται στα σύνολα, δημιουργεί την εντύπωση ότι αυτά είναι θεμελιωδέστερα των αριθμών (τι θα έλεγε ο Πυθαγόρας γι' αυτό?)

Το σύστημα του Peano έχει και πρωτοβάθμια έκδοση που δε βασίζεται στα σύνολα!
Αλλά έχει κόστος! Η πρωτοβάθμια αριθμητική του Peano δεν είναι πλήρης και ικανοποιείται και από (αριθμήσιμα) μοντέλα αριθμητικής μη ισόμορφα προς το τυπικό μοντέλο (https://en.wikipedia.org/wiki/Non-stand ... arithmetic)

Ο ορισμός στο τρίτο post ακολουθεί τον τρόπο Β).
Στα πλαίσια της θεωρίας συνόλων προτείνεται μία συγκεκριμένη δομή η οποία αποδεικνύεται πως ικανοποιεί τη δευτεροβάθμια θεωρία του Peano υποστασιοποιώντας έτσι το μοτίβο των φυσικών αριθμών.

Πρέπει να σημειωθεί ότι τα στοιχεία αυτής της δομής () δεν είναι ΟΙ φυσικοί αριθμοί (με κεφαλαία το άρθρο) αλλά μια από τις δυνατές ενσαρκώσεις τους (είναι κατά μία έννοια ηθοποιοί που παίζουν αποδεδειγμένα σύμφωνα με το σενάριο της δευτεροβάθμιας αριθμητικής του Peano) και επί της ουσίας μια επίδειξη ισχύος της θεωρίας συνόλων ότι έχει τη δύναμη να κάνει μία τέτοια ενσάρκωση.

[math800]

Είναι ο σωστός ο διαχωρισμός του ορισμού από την υλοποίηση. Όμως , ορισμός χωρίς υλοποίηση είναι απλώς αλληλουχία λέξεων και τίποτα άλλο.

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Είναι ο σωστός ο διαχωρισμός του ορισμού από την υλοποίηση. Όμως , ορισμός χωρίς υλοποίηση είναι απλώς αλληλουχία λέξεων και τίποτα άλλο.

Ναι μεν, αλλά...

Ας δούμε την υλοποίηση και τις αλληλουχίες λέξεων κάτω από ένα άλλο πρίσμα
εξετάζοντας την ίδια την έννοια των συνόλων που είναι το βασικό συστατικό των μαθηματικών.

Για τα σύνολα έχουμε ορισμό τύπου Α) (με την έννοια που περιγράφεται στο ποστ #12), έστω συγκεκριμένα τη θεωρία ZFC (ή τη ZF)

Μπορούμε να υλοποιήσουμε τον ορισμό αυτόν?
Κάθε πρωτοβάθμια θεωρία, άρα και η ZFC, εάν είναι συνεπής θα πρέπει να έχει μοντέλα
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6de ... ss_theorem
Δηλαδή θα υπάρχουν δομές που ικανοποιούν τη ZFC όπως ακριβώς η προτεινόμενη δομή στο ποστ #3
ικανοποιεί τα αξιώματα του Peano.
Ειδικότερα θα υπάρχουν και αριθμήσιμα μοντέλα. Οπότε υλοποιήσεις υπάρχουν.
Όμως δεν υπάρχει τρόπος εμείς να υλοποιήσουμε κατασκευαστικά ένα τέτοιο μοντέλο
όπως έκανε ο Von Neumann με τους φυσικούς αριθμούς
(αλίμονο αν μπορούσαμε, γιατί τότε η θεωρία ZFC θα απεδείκνυε τη συνέπειά της!
Βέβαια υπάρχει ένα παραθυράκι "υλοποίησης" αλλά έχει κόστος!
Για λεπτομέρειες παραπέμπουμε στη Σημείωση στο τέλος)

Έχει ενδιαφέρον ότι τα μοντέλα της ZFC δίνουν το κάθενα έναν πλήρη ορισμό τύπου Β) για τα σύνολα πού είναι όμως διαφορετικοί μεταξύ τους και αντιστοιχούν στις διαφορετικές αντιλήψεις που μπορεί να έχει κανείς για το τι είναι σύνολο.

Αξίζει να σημειωθεί προς τούτο ότι μπορούμε με αφετηρία ένα μοντέλο της ZFC
(ή της ZF) στο οποίο για παράδειγμα αληθεύει η υπόθεση του συνεχούς
(ή κάποια άλλη ιδιότητα ανεξάρτητη της ZFC
https://en.wikipedia.org/wiki/Independe ... cal_logic) )
να κατασκευάσουμε ένα μοντέλο της ZFC στο οποίο ΔΕΝ θα αληθεύει
η υπόθεση του συνεχούς (ή η άλλη ανεξάρτητη ιδιότητα)
https://en.wikipedia.org/wiki/Forcing_(mathematics)
Οπότε δοθέντος αυθαιρέτου "υλοποιημένου" μοντέλου της ZFC, σίγουροι μπορούμε να είμαστε για την αλήθεια μόνο των ιδιοτήτων που βρίσκονται εντός της αποδεικτικής εμβέλειας της θεωρίας. Η αλήθεια των υπολοίπων είναι κρυμμένη από τα μάτια μας με αποτέλεσμα η υλοποίηση να μη μας λέει τίποτε παραπάνω από τις αποδείξεις της θεωρίας και ως εκ τούτου να μην έχει ιδιαίτερη σημασία. Μπορούμε να πούμε ότι τυπικά ένα σύνολο δεν είναι κάτι παραπάνω από την απόδειξη της ύπαρξής του, πράγμα που μας επιτρέπει, εφ' όσον το επιθυμούμε, να ξεφορτωθούμε τα σύνολα από τη σκέψη μας και να τα αντικαταστήσουμε με αυτές τις τυπικές αποδείξεις.

Αυτό σημαίνει πως όταν "υλοποιούμε" κάτι με σύνολα,
π.χ. έναν χώρο Banach, μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα
ή έναν τοπολογικό χώρο εφοδιασμένο με ένα δράγμα δακτυλίων,
μπορούμε να σκεφτόμαστε ότι τα υλικά κατασκευής αυτών των δομών είναι τυπικές αποδείξεις
(της ύπαρξης των συνόλων που χρησιμοποιούμε για να τις ορίσουμε).

Τα σύνολα είναι απλώς διακοσμητικές συντομογραφίες τυπικών αποδείξεων,
κουρτίνες (ή γυψοσανίδες) για να κρύβουμε πίσω τους τον ομολογουμένως βαρύ φορμαλισμό.
Οι τυπικές αποδείξεις από την πλευρά τους είναι τύποι της γλωσσας της θεωρίας συνόλων.
Δηλαδή εν τέλει με αλληλουχίες λέξεων υλοποιούμε και εντός της εμβέλειας τους παραμένουμε.
Και αν κιόλας θυμηθούμε ότι οι τύποι της θεωρίας συνόλων μπορούν να κωδικοποιηθούν με φυσικούς αριθμούς
https://en.m.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del_numbering
στο τέλος θα δικαιώσουμε και τον Πυθαγόρα!

Ίσως να αισθάνεται κανείς ότι αυτή η "υλοποίηση" είναι αέρας κοπανιστός.
Μπορεί όμως κανείς να τη δει ως... Μαθηματικό Λόγο...

Εν αρχή ην ο Λόγος ... Πάντα δι΄ αυτού εγένετο και χωρίς αυτού εγένετο ουδέ εν, ο γέγονεν

Σημείωση
Αν είμαστε διατεθειμένοι να χρησιμοποιήσουμε μία ισχυρότερη θεωρία συνόλων,
για παράδειγμα να αποδεχτούμε επιπλέον την ύπαρξη ασθενώς απροσίτων πληθαρίθμων
(https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal)
τότε στο πλαίσιο της ισχυρότερης θεωρίας μπορούμε να ορίσουμε μοντέλα της ασθενέστερης θεωρίας ZFC.

Αλλά αυτό δεν είναι ιδιαίτερα ικανοποιητικό,
γιατί θυμίζει εκείνο το διάλογο:
-πού στηρίζεται η γη?
-σε τέσσερις τεράστιους ελέφαντες!
-και αυτοί οι ελέφαντες πού στηρίζονται?
-πατάνε στο καβούκι μιας γιγάντιας χελώνας (κ.ο.κ.)

Από την άλλη όμως δεν είναι λιγότερο ικανοποιητικό απ' το να υλοποιούμε τους φυσικούς αριθμούς
χρησιμοποιώντας μία αποδεικτικά ισχυρότερη θεωρία (όχι απαραίτητα εννοιολογικά στοιχειοδέστερη) όπως η... θεωρία συνόλων!

[math800]

Για τον αέρα κοπανιστό που λέτε...εκεί ακριβώς έγκειται η μεγαλοφυία του Von Neuman. Αφού τα θεμέλια των μαθηματικών ταλαιπωρήθηκαν για χρόνια από τα παράδοξα (Ο Frege σταμάτησε την έκδοση του βιβλίου του στο τυπογραφείο την τελευταία στιγμή!) , το πιο αυτοσυνεπές αντικείμενο είναι μακράν το κενό σύνολο, οπότε μέσω αυτού θα οριστούν οι φυσικοί αριθμοί.

[S.E.Louridas]

Για τον αέρα κοπανιστό που λέτε...εκεί ακριβώς έγκειται η μεγαλοφυία του Von Neuman. Αφού τα θεμέλια των μαθηματικών ταλαιπωρήθηκαν για χρόνια από τα παράδοξα (Ο Frege σταμάτησε την έκδοση του βιβλίου του στο τυπογραφείο την τελευταία στιγμή!) , το πιο αυτοσυνεπές αντικείμενο είναι μακράν το κενό σύνολο, οπότε μέσω αυτού θα οριστούν οι φυσικοί αριθμοί.

Με βάση την δική μου αντίληψη εκφράσεις όπως αυτή που σου υπογράμμισα (κοκκινίζοντας τη) ή γενικού τύπου νουθεσίες (πχ ... σου συνιστώ όπως ...κλπ. , κλπ. καλό θα είναι και μάλιστα χωρίς επιστημονικές αναφορές κύρους ...) έχε την ισορροπία να τις ξεπερνάς ως μη υπάρχουσες (γιατί πιθανόν να είναι και μορφή χιούμορ), αφού επί της ουσίας δεν αντιπροσωπεύουν ούτε το κενό σύνολο καθότι στο υπάρχει τουλάχιστον το ""κουτί"" μέσα στο οποίο δεν υπάρχει κάτι, και αν μη τι άλλο υπάρχει ο συμβολισμός. Μία κουβέντα έστω και με ψήγματα επιστημοσύνης δεν έχει ανάγκη από τέτοια. Και για να μην παρεξηγηθώ κρίνω μόνο νοοτροπίες και ΟΧΙ πρόσωπα (που ως πρόσωπα μπορεί να είναι καλοί άνθρωποι πάνω του αναμενομένου) πολλώ δε μάλλον που δεν γνωρίζω. Μάθε λοιπόν φίλε τι να παρακάμπτεις και απάντα στο επιστημονικό και μόνο πνεύμα. Αν δεν κάνω λάθος η αρχική αντίληψη που ανέφερα για τον αριθμό (κλάση κλάσεων) ή τελείως παρόμοια για πρώτη φορά οφείλεται στον Frege που προανέφερες ήδη.

[math800]

Για τον αέρα κοπανιστό που λέτε...εκεί ακριβώς έγκειται η μεγαλοφυία του Von Neuman. Αφού τα θεμέλια των μαθηματικών ταλαιπωρήθηκαν για χρόνια από τα παράδοξα (Ο Frege σταμάτησε την έκδοση του βιβλίου του στο τυπογραφείο την τελευταία στιγμή!) , το πιο αυτοσυνεπές αντικείμενο είναι μακράν το κενό σύνολο, οπότε μέσω αυτού θα οριστούν οι φυσικοί αριθμοί.

Με βάση την δική μου αντίληψη εκφράσεις όπως αυτή που σου υπογράμμισα (κοκκινίζοντας τη) ή γενικού τύπου νουθεσίες (πχ ... σου συνιστώ όπως ...κλπ. , κλπ. καλό θα είναι και μάλιστα χωρίς επιστημονικές αναφορές κύρους ...) έχε την ισορροπία να τις ξεπερνάς ως μη υπάρχουσες

Εδώ όμως κύριε Λουρίδα από τη μία λέτε να ξεπερνάμε τις νουθεσίες και από την άλλη νουθετείτε..επίσης το να αποκαλέσει κάποιος το κενό σύνολο αέρα κοπανιστό, το βρισκώ επιτυχημένο και έχει και την πλάκα του. Προσωπικά μου φαίνεται μεγαλοφυές, αυτός ο κοπανιστός αέρας να έχει σύμβολο. Είναι μια τρόπον τινά υλοποίησή του .

Ο Leopold Kronecker , μέγας αλγεβριστής και πολέμιος του Cantor και της συνολοθεωρίας , είχε πει ότι τους φυσικούς αριθμούς μας τους έδωσε ο θεός και όλα τα άλλα τα φτιάξαμε μόνοι μας.

Το αναφέρω για να τονίσω ότι ακόμα και οι τεράστιοι μαθηματικοί όταν συζητούν και εκφέρουν γνώμη, έχουν την ευελιξία να μη μιλάν πάντα επιστημονικά προκειμένου να γίνουν κατανοητοί.

Κλείνοντας, στην αρχική σας ερώτηση για το αν υπάρχει 100 % αποδεκτός ορισμός για την έννοια φυσικός αριθμός , η απάντηση είναι όχι και δε χρειάζεται κιόλας. Αρκεί να θυμηθούμε τα λόγια του Hilbert στη θεμελίωση της γεωμετρίας : "«Η εγκυρότητα των αξιωμάτων και των θεωρημάτων δεν θα κλονιστεί καθόλου αν αντικαταστήσουμε τους συνήθεις όρους «σημείο, γραμμή, επίπεδο» με άλλους, εξίσου συμβατικούς: «καρέκλα, τραπέζι, κούπα μπύρας» " . Και αυτό είναι φυσικά άλλο ένα παράδειγμα εκλαϊκευσης με πρωτεργάτη τον μέγα Hilbert , το οποίο απαντάει και στην ερώτηση που θέσατε σε άλλο ποστ , κατά πόσο μπορούμε να βάλουμε νερό στο κρασί μας για χάρη της κατανόησης , και η απάντηση είναι πολύ. Το έχουν κάνει όλοι οι μεγάλοι και καμιά αριστεία δε θίχτηκε αν αυτό είναι το διακύβευμα τελικά.

[S.E.Louridas]

Για τον αέρα κοπανιστό που λέτε...εκεί ακριβώς έγκειται η μεγαλοφυία του Von Neuman. Αφού τα θεμέλια των μαθηματικών ταλαιπωρήθηκαν για χρόνια από τα παράδοξα (Ο Frege σταμάτησε την έκδοση του βιβλίου του στο τυπογραφείο την τελευταία στιγμή!) , το πιο αυτοσυνεπές αντικείμενο είναι μακράν το κενό σύνολο, οπότε μέσω αυτού θα οριστούν οι φυσικοί αριθμοί.

Με βάση την δική μου αντίληψη εκφράσεις όπως αυτή που σου υπογράμμισα (κοκκινίζοντας τη) ή γενικού τύπου νουθεσίες (πχ ... σου συνιστώ όπως ...κλπ. , κλπ. καλό θα είναι και μάλιστα χωρίς επιστημονικές αναφορές κύρους ...) έχε την ισορροπία να τις ξεπερνάς ως μη υπάρχουσες

Εδώ όμως κύριε Λουρίδα από τη μία λέτε να ξεπερνάμε τις νουθεσίες και από την άλλη νουθετείτε..επίσης το να αποκαλέσει κάποιος το κενό σύνολο αέρα κοπανιστό, το βρισκώ επιτυχημένο και έχει και την πλάκα του. Προσωπικά μου φαίνεται μεγαλοφυές, αυτός ο κοπανιστός αέρας να έχει σύμβολο. Είναι μια τρόπον τινά υλοποίησή του .

Αν μου επιτρέπετε.
Νόμιζα καταρχάς πως σας ενόχλησε η έκφραση αυτή. Όμως αυτό που σας είπα δεν είναι νουθεσία, είναι ότι το αέρας κοπανιστός δεν συνάδει ως έκφραση με την δική μου αντίληψη περί ευγένειας και ως εκ τούτου καλό είναι να το επιχειρείτε σε δικές σας αναρτήσεις. Δεν είναι νουθεσία η υπενθύμιση για τον σεβασμό στην φιλοξενία και σε έναν επιστημονικό σοβαρό διάλογο, έρευνας για το πως μπορεί κάποιος να αντιληφθεί την αρχική έννοια Φυσικός αριθμός και μάλιστα σε ένα τόσο σοβαρό περιβάλλον όπως το mathematica. Επιτρέψτε μου να μην έχω δει τέτοιες εκφράσεις σε αντίστοιχα σοβαρά περιβάλλοντα όπως το mathematica. Σας ευχαριστώ πάντως θερμά, αν και δεν σας γνωρίζω. Θα σας παρακαλούσα θερμά (και λόγω του ανώνυμου σας) να μην συνεχίσετε στην ημέτερη αυτή ανάρτηση σε αυτό το μοτίβο έκφρασης παρά αν θέλετε να συνεχίσετε στην προσπάθεια μας με βάση τις γνώσεις σας που προσωπικά δεν τις αμφισβητώ.

[math800]

Καθόλου δε με ενόχλησε το αέρας κοπανιστός. Ίσα ίσα που το βρήκα εφυέστατο. Όσον αφορά την αυστηρότητα , αυτή δε συνδέεται καθόλου με τη σοβαρότητα μιας συζήτησης κατ' εμέ. Να είστε καλά, και σας ευχαριστώ εγώ, γιατί πολλές φορές έχω διδαχτεί από τις εδώ αναρτήσεις σας.

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Θα ζητήσω και εγώ συγγνώμη με τη σειρά μου για το informal ύφος, δεσμεύομαι να είμαι προσεκτικότερος.

Πάντως με την επίμαχη έκφραση δεν αναφέρθηκα στο κενό σύνολο
αλλά στους τύπους της γλώσσας της θεωρίας συνόλων (ως πρωτοβάθμιας γλώσσας).

Η ανάρτηση ήταν αντίλογος στο:
ορισμός χωρίς υλοποίηση είναι μία αλληλουχία λέξεων και τίποτα παραπάνω.

και υποστήριξη στο:
όλα αρχίζουν και τελειώνουν σε αλληλουχίες λέξεων
δηλαδή ότι ο Μαθηματικός Λόγος "άμα τη εκφορά" δημιουργεί και υλοποιεί εκ του μηδενός (όχι εκ του κενού συνόλου)

Τα επιχειρήματα υπέρ αυτής της άποψης ήταν ότι:

για τα ίδια τα σύνολα έχουμε ορισμό, αλλά όχι (κατασκευάσιμες) τυπικές υλοποιήσεις
οι (μη κατασκευάσιμες) τυπικές υλοποιήσεις της θεωρίας συνόλων,
που πρέπει να υπάρχουν εφ' όσον αυτή είναι συνεπής,
δεν προσφέρουν κάτι παραπάνω από την (αξιωματική) διατυπωσή της.
σε επιπέδο εφαρμογής της θεωρίας συνόλων τα σύνολα δεν είναι απαραίτητα
και μπορούν να υποκατασταθούν από τους τύπους που τα ορίζουν.

Συνοψίζοντας, για τα σύνολα έχουμε ορισμό που είναι αλληλουχία λέξεων.
Δεν θα πούμε πως "δεν είναι τίποτα παραπάνω".
Αντίθετα, θα πούμε πως είναι "τα πάντα", σε πείσμα του γεγονότος ότι δεν έχουμε "υλοποίηση".

Ας δούμε και ένα παράδειγμα εφαρμογής της θεωρίας συνόλων (χωρίς σύνολα!).

Θεωρώντας μια πρωτοβάθμια γλώσσα που έχει μόνο ένα σύμβολο σχέσης με δυο ορίσματα,
ο κατά Von Neumann ορισμός του μηδενός ως υποκείμενο της γλώσσας, δηλαδή ως σύνολο, γίνεται με τον τύπο

(1)

(εννοείται ότι υπόλοιπα αξιώματα της θεωρίας συνόλων βρίσκονται στο υπόβαθρο)

Το δεν είναι όμως ανάγκη να είναι υποκείμενο της γλώσσας.
Αρκεί να θεωρήσουμε ως μηδέν τον τύπο ύπαρξης του κενού

(2)

που είναι απλώς μια ρήση, μια διατύπωση, μια κουβέντα (εδώ πήγαινε ο επίμαχος χαρακτηρισμός)

Σημείωση
Χρησιμοποιήθηκε επίτηδες το στη θέση του για να τονίσουμε ότι δεν είναι ανάγκη να υπάρχει το αφήγημα ή η σημασία του ανήκειν πίσω από το . Τονίζεται επίσης ότι στους τύπους (1,2) χρησιμοποιούνται δυο διαφορετικά "ίσον".

Το γεγονός ότι "βλέπουμε ένα νόημα πίσω από τους τύπους (1,2)", δηλαδή το κενό σύνολο που έχει την ιδιότητα να μην έχει μέλη, μπορεί να είναι διαισθητικά, διδακτικά, φιλοσοφικά σημαντικό, αλλά δεν είναι τυπικά σημαντικό για την υποστασιοποίηση μιας έννοιας, του μηδενός εν προκειμένω.