Μέγιστη τιμή εμβαδού

#1

Έστω τετράπλευρο $A B\Gamma \Delta$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $\sqrt{6} cm$ με
$\widehat{A}=60^{o}, \widehat{B}=45^{o}.$
Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του τετραπλεύρου αυτού
είναι το πολύ ίσο με $3\sqrt{6}cm^{2}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Χρήστο, το έχουμε δει
viewtopic.php?f=171&t=65007&p=314813&hi ... 24#p314813

#3

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 30, 2023 6:56 pm
Έστω τετράπλευρο $A B\Gamma \Delta$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $\sqrt{6} cm$ με
$\widehat{A}=60^{o}, \widehat{B}=45^{o}.$
Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του τετραπλεύρου αυτού
είναι το πολύ ίσο με $3\sqrt{6}cm^{2}$ .

Ας δούμε το θέμα κάπως γενικότερα. Ας υποθέσουμε ότι οι δοθείσες γωνίες είναι $\alpha ,\beta$ , η ακτίνα του κύκλου είναι

και το κέντρο του

. Aς παραμετροποιήσουμε το πρόβλημα με την γωνία των

,

έστω

. Αν το

είναι γνωστό το ίδιο συμβαίνει με το

και το τετράπλευρο κατασκευάζεται.

: max-area.png (21.14 KiB) Προβλήθηκε 1524 φορές

Ένας εύκολος υπολογισμός με τις γωνίες μας δίνει τις επίκεντρες γωνίες του σχήματος και επομένως από τον τύπο εμβαδού από δυο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία βρίσκουμε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι
$E\left( x\right) =\frac{1}{2}R^{2}\left( \sin \left( 2x\right) +\sin \left( 2\pi -2x-2\alpha \right) +\sin \left( 2\pi -2x-2\beta \right) +\sin \left( -2\pi +2\alpha +2\beta +2x\right) \right)$
δηλαδή
$E\left( x\right) =\frac{1}{2}R^{2}\left( \sin \left( 2x\right) -\sin \left( 2x+2\alpha \right) -\sin \left( 2x+2\beta \right) +\sin \left( 2\alpha +2\beta +2x\right) \right)$
Μπορούμε να αποφύγουμε τις παραγώγους με λίγη παλιά καλή τριγωνομετρία κάνοντας παραγοντοποιήσεις: Συνδυάζουμε πρώτο με τελευταίο προσθετέο και τους δύο μεσαίους στην παρένθεση και βρίσκουμε ότι:
$E\left( x\right) =R^{2}\left( \cos \left( \alpha +\beta \right) -\cos \left( \alpha -\beta \right) \right) \sin \left( \alpha +\beta +2x\right)$
Επειδή το $\cos \left( \alpha +\beta \right) -\cos \left( \alpha -\beta \right)$ είναι αρνητικό η $E\left( x\right)$ μεγιστοποιείται όταν ελαχιστοποιηθεί το
$\sin \left( \alpha +\beta +2x\right)$ δηλαδή όταν γίνει

. Αυτό επιτυγχάνεται για $\alpha +\beta +2x=\frac{3\pi }{2}$ .

Στην περίπτωση της άσκησης έχουμε $R=\sqrt{6}$ , $\alpha =\frac{\pi }{3}$ , $\beta =\frac{\pi }{4}$ και πρέπει $x=\frac{11\pi }{24}$ . Αντικαθιστώντας βρίσκουε $E\left( \frac{11\pi }{24}\right) =\allowbreak 3\sqrt{6}$ .

#4

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 30, 2023 6:56 pm
Έστω τετράπλευρο $A B\Gamma \Delta$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $\sqrt{6} cm$ με
$\widehat{A}=60^{o}, \widehat{B}=45^{o}.$
Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του τετραπλεύρου αυτού
είναι το πολύ ίσο με $3\sqrt{6}cm^{2}$ .

Παρατηρούμε ότι οι διαγώνιοι AC, BD

είναι οι πλευρές τετραγώνου και ισοπλεύρου τριγώνου αντίστοιχα, εγγεγραμμένων στον κύκλο ακτίνας $r=\sqrt 6 \rm{cm}.$ Αν $\theta$ είναι η γωνία των διαγωνίων, τότε

$\displaystyle (ABCD) = \frac{{AC \cdot BD}}{2}\sin \theta \leqslant \frac{{AC \cdot BD}}{2} \Leftrightarrow {(ABCD)_{\max }} = \frac{{\sqrt 6 \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt 6 \cdot \sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 6$ $\rm cm^2.$

Γενικά, $\boxed{{(ABCD)_{\max }} = \frac{{AC \cdot BD}}{2}}$

Αν

είναι η ακτίνα του κύκλου, τότε $\displaystyle AC = 2R\sin B,BD = 2R\sin A \Rightarrow$ $\boxed{{(ABCD)_{\max }} = 2{R^2}\sin A\sin B}$

$\displaystyle \bullet$ Να συμπληρώσω απλώς ότι αν η μία διαγώνιος εγγεγραμμένου τετραπλεύρου έχει σταθερό μήκος, τότε το μέγιστο εμβαδόν επιτυγχάνεται όταν η άλλη διαγώνιος είναι η διάμετρος του κύκλου.

#5

Καλησπέρα σε όλους. Μια τριγωνομετρική προσέγγιση. (Κατόπιν είδα ότι ο Νίκος είχε ήδη δώσει γενίκευση).

Σημειώνουμε τις γωνίες όπως στο σχήμα, με $\displaystyle 0 < \omega < 45^\circ$ .

: 01-05-2023 Γεωμετρία.png (22.54 KiB) Προβλήθηκε 1418 φορές

Τότε $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \left( {AOB} \right) + \left( {BOC} \right) + \left( {COD} \right) + \left( {DOA} \right) =$

$\displaystyle = \frac{{{R^2}\eta \mu \left( {180^\circ - 2\omega } \right)}}{2} + \frac{{{R^2}\eta \mu \left( {90^\circ + 2\omega } \right)}}{2} + \frac{{{R^2}\eta \mu \left( {30^\circ - 2\omega } \right)}}{2} + \frac{{{R^2}\eta \mu \left( {60^\circ + 2\omega } \right)}}{2} =$

$\displaystyle = 3\left( {\eta \mu 2\omega + \sigma \upsilon \nu 2\omega + \frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu 2\omega - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\eta \mu 2\omega + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu 2\omega + \frac{1}{2}\eta \mu 2\omega } \right) =$
$\displaystyle = \frac{3}{2}\left( {\left( {3 - \sqrt 3 } \right)\eta \mu 2\omega + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sigma \upsilon \nu 2\omega } \right)$

που παρουσιάζει μέγιστο όταν $\displaystyle \varepsilon \varphi 2\omega = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} = 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow 2\omega = 15^\circ \Leftrightarrow \omega = 7,5^\circ$ και είναι ίσο με $\displaystyle 3\sqrt 6$ .

#6

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 01, 2023 9:34 am
$\displaystyle (ABCD) = \frac{{AC \cdot BD}}{2}\sin \theta$

Νομίζω ότι η αντιμετώπιση του Γιώργου μας προσφέρει μία βέλτιστη λύση με τριγωνομετρία. Γενικά αν ξέρουμε τις γωνίες ξέρουμε, από τον νόμο των ημιτόνων, και τις αντίστοιχες διαγωνιους. Έτσι μπορούμε να έχουμε τα εξής δύο προβλήματα που προσφέρονται και για συζήτηση στην τάξη:
Α) Έχουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα. Πως μπορούμε με αυτά να σχηματίσουμε τετράπλευρο που να τα έχει διαγωνίους και να έχει μέγιστο εμβαδόν; (άπειρες λύσεις).
Β)Έχουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα. Πως μπορούμε με αυτά να σχηματίσουμε τετράπλευρο που να τα έχει διαγωνίους, να είναι εγγεγραμμένο σε δοθέντα κύκλο και να έχει μέγιστο εμβαδόν; (ουσιαστικά μια λύση).

S.E.Louridas · #7

Καλημέρα, για ένα είδος πλουραλισμού.
Στο τυχόν εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ που γνωρίζουμε τις διαγώνιες του ${\rm A}\Gamma ,\;{\rm B}\Delta$ (Εξ αρχής ή έμμεσα
π.χ. αν γνωρίζουμε τα μέτρα των εγγεγραμμένων γωνιών, σε δοθέντα κύκλο, που αυτές "βλέπουν" τις αντίστοιχες χορδές - διαγώνιες)
μπορούμε να θεωρήσουμε τις αποστάσεις ${\rm B}{\rm B}',\;\Delta \Delta '$ από την ${\rm A}\Gamma .$
Τότε παίρνουμε $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = \frac{{{\rm A}\Gamma \left( {{\rm B}{\rm B}' + \Delta \Delta '} \right)}}{2} = \frac{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm B}{\rm E}}}{2} \leqslant \frac{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm B}\Delta }}{2},}$
αν $\Delta {\rm E}$ είναι η απόσταση του σημείου $\Delta$ από την ευθεία ${\rm B}{\rm B}'.$
Άρα στην καθετότητα των διαγωνίων - χορδών παίρνουμε το μέγιστο εμβαδόν και κατασκευαστικά.

Μέγιστη τιμή εμβαδού

Μέγιστη τιμή εμβαδού

Re: Μέγιστη τιμή εμβαδού

Re: Μέγιστη τιμή εμβαδού

Re: Μέγιστη τιμή εμβαδού

Re: Μέγιστη τιμή εμβαδού

Re: Μέγιστη τιμή εμβαδού

Re: Μέγιστη τιμή εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση