Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(4)

#1

Άσκηση προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

Για τους $\displaystyle{ \nu \times \nu }$ πίνακες $\displaystyle{ A,B }$ με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και $\displaystyle{ \nu }$ περιττός ισχύουν:

$\displaystyle{ {\rm A}{\rm B} = {\rm B}{\rm A} }$ και $\displaystyle{ {\rm A}^3 = {\rm B}^3 }$
Να δείξετε ότι ο πίνακας $\displaystyle{ {\rm A} - {\rm B} }$ δεν είναι αντιστρέψιμος.

#2

Υποθέτουμε, ότι ο $\displaystyle{A-B}$ είναι αντιστρέψιμος. Τότε, επειδή είναι

$\displaystyle{(A-B)(A^2+AB+B^2)=0}$ , θα έχουμε $\displaystyle{A^2+AB+B^2=0.}$

Αυτή η σχέση γράφεται και ως

$\displaystyle{(A+B)^2=AB}$ , αλλά και ως $\displaystyle{(A-B)^2=-3AB.}$

Περνώντας στις ορίζουσες, επειδή το $\displaystyle{\nu}$ είναι περιττός, βρίσκουμε

$\displaystyle{|AB|=|A+B|^2\geq 0}$ και $\displaystyle{-3^{\nu}|AB|=|A-B|^2>0}$ άτοπο.

EDIT*

Ας προσθέσω, ότι η σχέση $\displaystyle{A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)}$ ισχύει, επειδή οι πίνακες αντιμετατίθενται.

tbolis · #3

Βγαίνει και με spectral mapping theorem.

Θ. Μπόλης

Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(4)

Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(4)

Re: Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(4)

Re: Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(4)

Μέλη σε σύνδεση