Παραβολή και εμβαδόν τριγώνου

Tolaso J Kos · #1

Θεωρούμε τα σημεία $\mathrm{A}(x_1, y_1)$ , $\mathrm{B}(x_2, y_2)$ , $\Gamma(x_3, y_3)$ και την παραβολή y^2 = 2px

. Αν το τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ είναι εγγεγραμμένο στη παραβολή, να δειχθεί ότι το εμβαδόν $\mathrm{E}$ του τριγώνου δίδεται της ισότητας:

$\displaystyle{\mathrm{E} = \frac{1}{4 \left | p \right |} \left | \left ( y_2- y_1 \right ) \left ( y_2 - y_3 \right ) \left ( y_3-y_1 \right ) \right |}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 11, 2024 11:47 am
Θεωρούμε τα σημεία $\mathrm{A}(x_1, y_1)$ , $\mathrm{B}(x_2, y_2)$ , $\Gamma(x_3, y_3)$ και την παραβολή . Αν το τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ είναι εγγεγραμμένο στη παραβολή, να δειχθεί ότι το εμβαδόν $\mathrm{E}$ του τριγώνου δίδεται της ισότητας:

$\displaystyle{\mathrm{E} = \frac{1}{4 \left | p \right |} \left | \left ( y_2- y_1 \right ) \left ( y_2 - y_3 \right ) \left ( y_3-y_1 \right ) \right |}$

.
Είναι γνωστό και άμεσο ότι το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο

$\frac {1}{2} |x_1(y_2 − y_3) + x_2(y_3 − y_1) + x_3(y_1 − y_2)|$ .

Καμια φορά το βλέπει κανείς σε ισοδύναμη συνοπτική μορφή με χρήση οριζουσών, που κάποτε ήταν εντός ύλης, ως .... (δεν το γράφω αυτή την στιγμή γιατί φαίνεται ότι ο EqEditor του

δεν λειτουργεί, αλλά θα επανέλθω όταν διορθωθεί το πρόβλημα). Αλλά εδώ y_1^2 = 2px_1

, και λοιπά, οπότε

$E = \frac {1}{4|p|} |y^2_1(y_2 − y_3) + y^2_2(y_3 − y_1) + y^2_3(y_1 − y_2)|$

που απολοποιείται στο δοθέν (άμεσο αν κάνει κανείς σβέλτα τις πράξεις.)

Παραβολή και εμβαδόν τριγώνου

Παραβολή και εμβαδόν τριγώνου

Re: Παραβολή και εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση