Μη αναμενόμενη τετμημένη

KARKAR · #1

: Μη αναμενόμενη τετμημένη.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Το σημείο

κινείται στον κύκλο : x^2+y^2=9

. Η μεσοκάθετη του

και η κάθετη

προς την ακτίνα

στο

, τέμνονται στο σημείο

. Υπολογίστε την τετμημένη του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 12, 2023 8:05 pm
Μη αναμενόμενη τετμημένη.pngΤο σημείο κινείται στον κύκλο : . Η μεσοκάθετη του και η κάθετη

προς την ακτίνα στο , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την τετμημένη του .

Με συντεταγμένες είναι $A(3\sin \theta, 3\cos \theta)$ και άρα η

έχει κλίση $\frac {\cos \theta }{\sin \theta}$ . Άρα η κάθετή της

έχει εξίσωση $y= -\frac {\sin \theta }{\cos \theta}x\, (*)$ .

To μέσον

της

είναι το $M \left ( \frac {9+3\sin \theta} {2} , \frac {3\cos \theta}{2} \right )$ και εύκολα βλέπουμε ότι η μεσοκάθετος στο

είναι η

$y-\frac {3\cos \theta}{2} = \frac {3-\sin \theta}{\cos \theta } \left ( x- \frac {9+3\sin \theta} {2} \right ) \, (**)$

Για την τομή

των δύο ευθειών λύνουμε (διώχνοντας το

) τις εξισώσεις (*),(**)

. Θα βρούμε $2x= 9-(\cos ^2\theta + \sin ^2 \theta)$ από όπου $\boxed {x=4}$ (το ζητούμενο).

Οι πράξεις και η φαντασία που απαιτεί η άσκηση είναι ουσιαστικά ανύπαρκτα, αλλά έχουμε το απρόσμενο δώρο ότι η τετμημένη του

είναι ανεξάρτητη της θέσης του

στον κύκλο (το $\theta$ εξαφανίστηκε). Με άλλα λόγια, το

κινείται σε έναν κατακόρυφο άξονα.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 12, 2023 8:05 pm
Μη αναμενόμενη τετμημένη.pngΤο σημείο κινείται στον κύκλο : . Η μεσοκάθετη του και η κάθετη

προς την ακτίνα στο , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την τετμημένη του .

Ας είναι: $A\left( {k,m} \right)$ με ${k^2} + {m^2} = 9\,\,\left( 1 \right)$ . Θα είναι τώρα .

$M\left( {\dfrac{{k + 9}}{2},\dfrac{m}{2}} \right)\,\,\,,\,\,\overrightarrow {PA} = \left( {k - 9,m} \right)$ και άρα η μεσοκάθετος στο

θα έχει εξίσωση .

$y - \dfrac{m}{2} = \dfrac{{9 - k}}{m}\left( {x - \dfrac{{k + 9}}{2}} \right)\,\,\,\left( 2 \right)$ , ενώ προφανές η εξίσωση της

είναι : $y = \dfrac{{ - kx}}{m}\,\,\,\left( 3 \right)$ .

Έτσι , $S:\left\{ \begin{gathered} y - \frac{m}{2} = \frac{{9 - k}}{m}\left( {x - \frac{{k + 9}}{2}} \right)\,\,\, \hfill \\ y = \frac{{ - kx}}{m}\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow S:\left\{ \begin{gathered} x = - \frac{{{k^2} + {m^2} - 81}}{{18}}\,\,\, \hfill \\ y = \frac{{k\left( {{k^2} + {m^2} - 81} \right)}}{{18m}}\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και λόγω της $\left( 1 \right)$

$\boxed{x = 4\,}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{y = \frac{{ - 4k}}{m}}$

Παρατήρηση :

Ο μεταβλητός κύκλος , $\left( {S,SP} \right)$ διέρχεται από το σταθερό σημείο , $T\left( { - 1,0} \right)$

: Μη αναμενόμενη τετμημένη.png (23.7 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

Μη αναμενόμενη τετμημένη

Μη αναμενόμενη τετμημένη

Re: Μη αναμενόμενη τετμημένη

Re: Μη αναμενόμενη τετμημένη

Μέλη σε σύνδεση