Άθροισμα τμημάτων

KARKAR · #1

: Άθροισμα τμημάτων.png (13.5 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

Κύκλος διερχόμενος από το O (0 , 0)

και το σημείο $S(5 , \dfrac{5}{2} )$ , τέμνει τις ευθείες με εξισώσεις :

y=0

και : $y=\dfrac{4}{3}x$ , στα σημεία P , T

αντίστοιχα . Υπολογίστε το άθροισμα : OP+OT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 03, 2023 9:18 pm
Άθροισμα τμημάτων.pngΚύκλος διερχόμενος από το και το σημείο $S(5 , \dfrac{5}{2} )$ , τέμνει τις ευθείες με εξισώσεις :

και : $y=\dfrac{4}{3}x$ , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε το άθροισμα : .

Η ευθεία $\,\,OS:\,\,x - 2y = 0$ και άρα με $k \in \mathbb{R}$ η μονοπαραμετρική εξίσωση :

$x\left( {x - 5} \right) + y\left( {y - \dfrac{5}{2}} \right) + k\left( {x - 2y} \right) = 0\,\left( 1 \right)$ παριστάνει το σύνολο των κύκλων που διέρχονται από τα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ .

: Αθροισμα τμημάτων.png (16.07 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές

Το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} x\left( {x - 5} \right) + y\left( {y - \frac{5}{2}} \right) + k\left( {x - 2y} \right) = 0 \hfill \\ 4x - 3y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ,

Δίδει το σημείο $T\left( {\dfrac{{3\left( {k + 5} \right)}}{5},\dfrac{{4\left( {k + 5} \right)}}{5}} \right)$ ενώ για y = 0

η $\,\left( 1 \right)\,$ δίδει το $P\left( {5 - k,0} \right)$ .

Επειδή $OP = \left| {5 - k} \right|\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OT = \left| {k + 5} \right|$ θα έχω εν γένει: : $OT + OP = \left| {k - 5} \right| + \left| {k + 5} \right|$ .

π. χ.

OP + OT = 5 - k + k + 5 = 10

, αν το μεν σημείο

ανήκει στον θετικό ημιάξονα ενώ

το σημείο

στο πρώτο τεταρτημόριο.

Στις άλλες περιπτώσεις το αποτέλεσμα δεν είναι ανεξάρτητο της παραμέτρου ,

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 03, 2023 9:18 pm
Άθροισμα τμημάτων.pngΚύκλος διερχόμενος από το και το σημείο $S(5 , \dfrac{5}{2} )$ , τέμνει τις ευθείες με εξισώσεις :

και : $y=\dfrac{4}{3}x$ , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε το άθροισμα : .

$\displaystyle \tan (P\widehat OT) = \frac{4}{3},\tan (P\widehat OS) = \frac{1}{2} \Rightarrow \tan (S\widehat OT) = \frac{1}{2},$ άρα η

διχοτομεί τη γωνία $P\widehat OT.$

Θεωρώ το $\displaystyle T\left( {t,\frac{{4t}}{3}} \right)$ στο πρώτο τεταρτημόριο και το $\displaystyle P(p,0)$ στο θετικό ημιάξονα Ox.

: Άθροισμα τμημάτων.Κ.png (16.43 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

$\displaystyle PS = ST \Leftrightarrow {(5 - p)^2} + \frac{{25}}{4} = {(t - 5)^2} + {\left( {\frac{{4t}}{3} - \frac{5}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow 9{p^2} - 90p = 25{t^2} - 150t \Leftrightarrow$

$\displaystyle (3p - 5t)(3p + 5t - 30) = 0$

$\displaystyle \bullet$ Αν 3p=5t,

τότε με Πτολεμαίο στο OPST

προκύπτει ότι t=3,p=5

και $\boxed{OP+OT=10}$

$\displaystyle \bullet$ Αν $\displaystyle 3p + 5t = 30 \Leftrightarrow p + \frac{{5t}}{3} = 10 \Leftrightarrow$ $\boxed{OP+OT=10}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 03, 2023 9:18 pm
Άθροισμα τμημάτων.pngΚύκλος διερχόμενος από το και το σημείο $S(5 , \dfrac{5}{2} )$ , τέμνει τις ευθείες με εξισώσεις :

και : $y=\dfrac{4}{3}x$ , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε το άθροισμα : .

Η ευθεία $\,OT\,$ έχει εξίσωση, $\varepsilon :\,4x - 3y = 0$ .

$d\left( {S,\varepsilon } \right) = \dfrac{{\left| {4 \cdot 5 - 3 \cdot \dfrac{5}{2}} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \dfrac{{20 - \dfrac{{15}}{2}}}{5} = \dfrac{5}{2} = {y_S}$ .

Άρα η ευθεία

διχοτομεί την $\widehat {POT}$ . Από τους άπειρους κύκλους που διέρχονται από τα $\,O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S\,$ ,

: Αθροισμα τμημάτων_Ευκλείδεια.png (23.14 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές

γράφω αυτόν με διάμετρο $\,\,OS\,\,$ που τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα $\,\,O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A\,\,$ και την ευθεία $\varepsilon \,\,$ στα $\,\,O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\,\,$ .

Από το Π. Θ. στο $\,\vartriangle ASO\,\,$ έχω: OA = 5

. Αφού τώρα προφανώς , $\,\,\vartriangle ASP = \vartriangle BST\,\,$ ,

$\,\,OT + OP = OB + BT + OA - AP = OA + OB = 5 + 5 = 10$ .

Πρόκειται επι της ουσίας εφαρμογή του θεωρήματος : Maclaurin

Άθροισμα τμημάτων

Άθροισμα τμημάτων

Re: Άθροισμα τμημάτων

Re: Άθροισμα τμημάτων

Re: Άθροισμα τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση