Κορυφαίος τόπος

KARKAR · #1

: Κορυφαίος τόπος.png (7.99 KiB) Προβλήθηκε 1247 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο OST

έχει σταθερό εμβαδόν

τ . μ . Η κορυφή

είναι σταθερή ,

ενώ η

κινείται στην ευθεία y=3

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τρίτης κορυφής

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 9:05 pm
Κορυφαίος τόπος.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο έχει σταθερό εμβαδόν τ . μ . Η κορυφή είναι σταθερή ,

ενώ η κινείται στην ευθεία . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τρίτης κορυφής .

Είναι επί της ουσίας ίδια με την άσκηση του Κώστα εδώ, αλλά έχει λιγότερες πράξεις.

Δίνω λύση με Αναλυτική Γεωμετρία αλλά υπάρχει και ωραία λύση με αντιστροφή.

Έστω $(x,\,y)$ οι συντεταγμένες του

και $(3,\,t)$ του

.

H καθετότητα των $OS,\, OT$ γράφεται $\dfrac {y}{x}\cdot \dfrac {t}{3}=-1$ . Και το εμβαδόν

μεταφράζεται $\displaystyle{\dfrac {1}{2} \sqrt {x^2+y^2} \sqrt {3^2+t^2}=6}$ .

Λύνουμε την πρώτη ως προς

και αντικαθιστούμε στην δεύτερη. Θα βρούμε τον κύκλο x^2+y^2-4y=0

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 9:05 pm
Κορυφαίος τόπος.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο έχει σταθερό εμβαδόν τ . μ . Η κορυφή είναι σταθερή ,

ενώ η κινείται στην ευθεία . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τρίτης κορυφής .

Το γινόμενο των ευθυγράμμων τμημάτων $OT = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OS = b$ είναι προφανώς ab = 12

.

Θεωρώ πάνω στην

σημείο

έτσι ώστε : $\boxed{OD = OS}$ και άρα , $OT \cdot OD = 12 = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}$ ( εν γένει $OT \cdot OD = {k^2}$ ).

Αντιστρέφω τώρα την σταθερή ευθεία που διαγράφει το

με πόλο το

και

δύναμη αντιστροφής ${k^2} = 12$ και παίρνω κύκλο που διέρχεται από το

.

: Κορυφαίος τόπος.png (43.33 KiB) Προβλήθηκε 1207 φορές

Αν η κάθετη στο

επί την

τέμνει την

στο

θα είναι : $OM = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OM = 4$ αφού $OM \cdot OG = OD \cdot OT = 12$ .

Ο κύκλος αυτός που είναι εικόνα της ευθείας έχει διάμετρο το OG = 4

αλλά δεν είναι αυτός που θέλω .

Θεωρώ τον συμμετρικό του με άξονα συμμετρίας τη διχοτόμο του 2ου και 4ου τεταρτημορίου του κύκλου αντιστροφής ( εστιγμένος μπλέ) .

Δηλαδή με

το συμμετρικό του

ως προς την πιο πάνω διχοτόμο , ο κύκλος που ζητώ και είναι ο γ. τ. των σημείων

είναι ο κύκλος με διάμετρο το

.

Δίδω και δυναμικό αρχείο ( Geogebra) . Τα εργαλεία που έχει το αρχείο μπορείτε να τα αποθηκεύσετε άμεσα και να τους κάνετε χρήση αν σας αρέσουν

Αλλιώς αλλά μόνο υπόδειξη( το δίκτυο μια έτσι μια αλλιώς)

Αντιστρέφω την ευθεία x = - 3

με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής ${k^2} = 12$ .

: Κορυφαίος τόπος_extra.png (35.02 KiB) Προβλήθηκε 1201 φορές

#4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 08, 2022 2:17 am

Αντιστρέφω τώρα την σταθερή ευθεία που διαγράφει το με πόλο το και

δύναμη αντιστροφής ${k^2} = 12$ και παίρνω κύκλο που διέρχεται από το .

Νίκο, αυτήν την μέθοδο είχα κατά νου όταν έγραφα ότι υπάρχει μέθοδος με αντιστροφή.

Θεωρώ τι η άσκηση και η αρχική της εκδοχή από τον Κώστα Δόρτσιο όπου παραπέμπω, είναι
ελκυστικότατες με ωραία εφαρμογή της αντιστροφής.

#5

Δυο λόγια για την κατασκευή του σχήματος.

: Κορυφαίος τόπος.png (24.45 KiB) Προβλήθηκε 1165 φορές

Θεωρώ πάνω στην ευθεία y=3

τυχόν σημείο

με $\displaystyle OT > \sqrt {12}.$ Επί του ημικυκλίου διαμέτρου

παίρνω σημείο

ώστε $\displaystyle OA = \sqrt {12}$ και έστω

η προβολή του

στην

Ο κύκλος

τέμνει στο

την κάθετη από το

στην

Το τρίγωνο OST

πληροί τις προϋποθέσεις της άσκησης.

Πράγματι, $\displaystyle 12 = O{A^2} = OB \cdot OT = OS \cdot OT \Leftrightarrow (OST) = 6$

nickchalkida · #6

Η ιδέα είναι ίδια. Κατασκευάζω το σταθερό γινόμενο $OT \cdot OT' = 12$ με τη χρήση του κύκλου $(O,\sqrt{12})$
και την μέθοδο της αντιστροφής για να χρησιμοποιηθούν ως πλευρές του τριγώνου.
Κατασκευή: Γράφω τον κύκλο $(O,\sqrt{12})$ , λαμβάνω

επί της

και

τέτοιο ώστε $OT \cdot OT' = 12$ .
Έστω

η τομή του κύκλου (O,OT')

με την κάθετο προς την

στο

,

η τομή της προέκτασης της

με την

και

η τομή της καθέτου στην

στο

με την

. Προφανώς (SOT)=6

. Είναι τότε

$\displaystyle{ FSO \sim TOH \rightarrow {FS \over SO} = {OT \over OH} \rightarrow FS \cdot OH = SO \cdot OT = 12 }$

άρα και το εμβαδόν του τριγώνου (FOH) = (SOT) = 6

, δηλαδή σταθερό,
και επειδή το ύψος επί της βάσεως

είναι σταθερό θα είναι και η βάση

σταθερή.
(... αφήνω ως λήμμα να αποδειχθεί: Σε τρίγωνο με βάση σταθερή και ύψος επί της βάσεως δεδομένο,
ο γεωμετρικός τόπος των ιχνών των άλλων υψών είναι ο κύκλος με διάμετρο την βάση.)
Άρα ο γ.τ. του

είναι ο κύκλος με διάμετρο

.

KARKAR · #7

: Κορυφαίος.png (15.99 KiB) Προβλήθηκε 1131 φορές

$(OTQS)=(OTPE)=12=TF\cdot OE$ , συνεπώς ο ζητούμενος τόπος

είναι ο κύκλος διαμέτρου

, ήτοι :

. Διερεύνηση

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 08, 2022 2:56 pm
Κορυφαίος.png $(OTQS)=(OTPE)=12=TF\cdot OE$ , συνεπώς ο ζητούμενος τόπος

είναι ο κύκλος διαμέτρου , ήτοι : . Διερεύνηση

Δείτε κάτι παρεμφερές Σ αυτό

KARKAR · #9

: Κορυφαίος τόπος.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 10:32 pm

Έστω $(x,\,y)$ οι συντεταγμένες του και $(3,\,t)$ του .

H καθετότητα των $OS,\, OT$ γράφεται $\dfrac {y}{x}\cdot \dfrac {t}{3}=-1$ . Και το εμβαδόν μεταφράζεται $\displaystyle{\dfrac {1}{2} \sqrt {x^2+y^2} \sqrt {3^2+t^2}=6}$

Λύνουμε την πρώτη ως προς και αντικαθιστούμε στην δεύτερη. Θα βρούμε τον κύκλο

Ας δούμε που οφείλεται το διαφορετικό αποτέλεσμα στην λύση του Μιχάλη : Είναι : T(t,3)

και

.

Λύνοντας ως προς

την : $\dfrac {y}{x}\cdot \dfrac {3}{t}=-1$ , καταλήγουμε στην : (x^2+y^2)^2=(4x)^2

,

με δεκτή την λύση : x^2+y^2=-4x

, δηλαδή : (x+2)^2+y^2=4

.

Κορυφαίος τόπος

Κορυφαίος τόπος

Re: Κορυφαίος τόπος

Re: Κορυφαίος τόπος

Re: Κορυφαίος τόπος

Re: Κορυφαίος τόπος

Re: Κορυφαίος τόπος

Re: Κορυφαίος τόπος

Re: Κορυφαίος τόπος

Re: Κορυφαίος τόπος

Μέλη σε σύνδεση