Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

#1

Δείξτε ότι δεν υπάρχει παραλληλόγραμμο με κορυφές στην παραβολή y=x^2

.

(Πρόκειται για θέμα που είδα στον διαγωνισμό Mathematical Olympiad for Girls. Το τοποθετώ εδώ γιατί η επίσημη λύση είναι
λίγο πολύπλοκη για την αξία του ερωτήματος, οπότε ζητώ από το φόρουμ απλές λύσεις. Έχω μία των 2-3 γραμμών. Νομίζω ότι το θέμα,
έστω με υπόδειξη, είναι κατάλληλο για ερώτημα σε Τάξη.)

KARKAR · #2

: όχι ορθογώνιο.png (11.72 KiB) Προβλήθηκε 1134 φορές

΄Εστωσαν τα σημεία A(a,a^2), B(b,b^2) , C(c,c^2) , D(d,d^2)

, με

.

Τότε : $\lambda_{AB}=a+b ,\lambda_{CD}=c+d>a+b$ .

harrisp · #3

Εστω

οι κορυφές του παραλληλογράμου ABCD

. Ειναι

,

.
Πρέπει AB//CD

και

. Η κλίση της

με

να ανήκουν στην παραβολή είναι $\dfrac {y^2-x^2}{y-x}=x+y$ . Αρα πρέπει a+b=c+d

και

. Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε a=c

, άτοπο.

Edit: Με πρόλαβε ο κ. Θανάσης. Την αφήνω για τον κόπο (όχι και πολύ μεγάλος

)

#4

Ελάχιστα διαφορετικά από τους παραπάνω.

Θεωρώ τα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία $\displaystyle A(a,{a^2}),B(b,{b^2}),C(c,{c^2}),D(d,{d^2}),$ ώστε το ABCD

να είναι παραλληλόγραμμο.

Τότε θα είναι $\displaystyle \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow (b - a = c - d) \wedge ({b^2} - {a^2} = {c^2} - {d^2}) \Leftrightarrow (b = c) \wedge (a = d)$ που είναι άτοπο.

#5

Αυτό είναι και συνέπεια της κυρτότητας της $\displaystyle{f}$ , αφού τότε η συνάρτηση $\displaystyle{\lambda (a,b)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}}$ είναι γνησίως αύξουσα ως προς $\displaystyle{a}$ .

#6

Π.χ τα μέσα παράλληλων χορδών ορίζουν ευθεία παράλληλη στον άξονα της παραβολής.

Στην περίπτωση που είχαμε παραλληλόγραμμο, σύμφωνα με αυτό, όλες οι πλευρές του θα ήταν παράλληλες στον άξονά της. Δεν γίνεται.

#7

: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή.png (29.93 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

Έστω το παραλληλόγραμμο ABCD

που οι κορυφές του είναι σημεία της παραβολής .
Αν

το σημείο τομής των διαγώνιων του αυτό θα προβάλλεται στον οριζόντιο άξονα έστω στο σημείο

.

Τα

θα προβάλλονται κατά σειρά στον ίδιο άξονα στα διακεκριμένα σημεία : S,P,T,Q

( αφού το παραλληλόγραμμο είναι κυρτό σχήμα) .

Επειδή θα ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} MS = MT \hfill \\ MP = MQ \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow MS - MP = MT - MQ \Rightarrow SP = - TQ$ , που είναι άτοπο.

#8

Αν τα σημεία είναι (κυκλικά) τα $(a,a^2), \, (b,b^2), \, (c,c^2), \, (d,d^2)$ τότε αφού τα μέσα των διαγωνίων συμπίπτουν θα είχαμε

$\displaystyle{\left (\frac {a+c}{2}, \frac {a^2+c^2}{2} \right ) = \left (\frac {b+d}{2}, \frac {b^2+d^2}{2} \right )}$ . Λύνοντας ως προς a,c

το σύστημα που προκύπτει, δηλαδή το $a+c=b+d, \, a^2+c^2=b^2+d^2$ . βρίσκουμε a=b, c=d

ή

. Άτοπα και τα δύο.

Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

Μέλη σε σύνδεση