Εξίσωση κύκλου που ορίζει χορδή

Γιώργος Απόκης · #1

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με το κέντρο του στο 1ο τεταρτημόριο, ο οποίος διέρχεται από τα σημεία

A(1,1),~B(3,1)

και ορίζει στην ευθεία $\displaystyle{\displaystyle{(\epsilon):x+3y-16=0}$ τμήμα μήκους $\sqrt{10}}$ .

#2

Καλησπέρα Γιώργο , καλησπέρα σε όλους .

Το κέντρο $\displaystyle{\Kappa }$ βρίσκεται στη μεσοκάθετο του $\displaystyle{AB}$ που είναι η $\displaystyle{x=2}$ άρα έχει συντεταγμένες $\displaystyle{K\left( 2,k \right)\,\,,\,\,k>0}$ .
Ο κύκλος έχει εξίσωση $\displaystyle{(C):\,\,\,\,\,{{(x-2)}^{2}}+{{(y-k)}^{2}}={{\text{ }\!\!\rho\!\!\text{ }}^{2}}}$ και διέρχεται από το $\displaystyle{A}$ ,
επομένως ισχύει : $\displaystyle{{{(1-2)}^{2}}+{{(1-k)}^{2}}={{\text{ }\!\!\rho\!\!\text{ }}^{2}}\Leftrightarrow {{k}^{2}}-2k+2={{\text{ }\!\!\rho\!\!\text{ }}^{2}}}$ $\displaystyle{(1)}$
Η απόσταση του $\displaystyle{K}$ από την ευθεία είναι $\displaystyle{d=\frac{|2+3k-16|}{\sqrt{10}}=\frac{|3k-14|}{\sqrt{10}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}=\frac{{{\left( 3k-14 \right)}^{2}}}{10}}$ $\displaystyle{(2)}$
Από το ορθογώνιο $\displaystyle{KGF}$ είναι $\displaystyle{{{d}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{10}}{2} \right)}^{2}}={{\text{ }\!\!\rho\!\!\text{ }}^{2}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}+\frac{5}{2}={{\text{ }\!\!\rho\!\!\text{ }}^{2}}}$ $\displaystyle{(3)}$
Από $\displaystyle{(2)}$ , $\displaystyle{(3)}$ έχουμε : $\displaystyle{\frac{{{\left( 3k-14 \right)}^{2}}}{10}+\frac{5}{2}={{\text{ }\!\!\rho\!\!\text{ }}^{2}}}$ οπότε από την $\displaystyle{(1)}$ παίρνουμε
την $\displaystyle{\frac{{{{\left( {3k - 14} \right)}^2}}}{{10}} + \frac{5}{2} = {k^2} - 2k + 2 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow k = 3 \vee k = - 67}$ .
Δεκτή τιμή η $\displaystyle{k=3}$ , οπότε από την $\displaystyle{(1)}$ έχουμε $\displaystyle{{{\text{ }\!\!\rho\!\!\text{ }}^{2}}=5}$ .
Άρα η εξίσωση είναι $\displaystyle{(C):\,\,\,\,\,{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=5}$

Γιώργος Απόκης · #3

Ευχαριστώ Γιώργη!

Εξίσωση κύκλου που ορίζει χορδή

Εξίσωση κύκλου που ορίζει χορδή

Re: Εξίσωση κύκλου που ορίζει χορδή

Re: Εξίσωση κύκλου που ορίζει χορδή

Μέλη σε σύνδεση