Διανυσματική Εμβάθυνση 1 (ΔΕΛΤΙΟ 12)

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Α. Αν ισχύει $\left| {\vec{a}} \right|=\left| {\vec{\beta }} \right|=\frac{1}{2}\left| \vec{a}+\vec{\beta } \right|$ , να δείξετε ότι $\vec{a}=\vec{\beta }$
Β. Δίνονται τα διανύσματα $\vec{a},\vec{\beta }$ τέτοια ώστε $\left| \vec{a}+\vec{\beta } \right|=4$ .
Να βρείτε τον $\rho \in \mathbb{R}$ καθώς και το διάνυσμα $\vec{x}$ αν ισχύουν
$\left| \vec{x}+\vec{a} \right|=\rho$ και $\left| \vec{x}-\vec{\beta } \right|=3\rho -{{\rho }^{2}}$

#2

a) Από τις σχέσεις που δίνονται προκύπτει

$\displaystyle{|\vec{a}|+|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b},|}$ άρα τα $\displaystyle{\vec{a},\vec{b}}$ είναι ομόρροπα. Και επειδή έχουν ίσα μέτρα είναι ίσα.

b)

Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε

$\displaystyle{\rho +3\rho -\rho ^2=|\vec{x}+\vec{a}|+|\vec{x}-\vec{b}|\geq |\vec{x}+\vec{a}-\vec{x}+\vec{b}|=4\implies}$

$\displaystyle{\implies (\rho -2)^2\leq 0\implies \rho =2.}$

Τότε, παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{|\vec{x}+\vec{a}|=|\vec{b}-\vec{x}|=\frac{1}{2}|\vec{x}+\vec{a}+\vec{b}-\vec{x}|=\frac{1}{2}|\vec{a}+\vec{b}|.}$

Τότε, από το a) είναι $\displaystyle{\vec{x}+\vec{a}=\vec{b}-\vec{x}\implies \vec{x}=\frac{1}{2}(\color{red}\vec{b}-\vec{a}).}$

** Διόρθωση προσήμου !

BAGGP93 · #3

Η σωστή λύση φαίνεται πιο πάνω.

#4

BAGGP93 έγραψε:Καλησπέρα. Ας εμβαθύνουμε λοιπόν.
...

$\displaystyle{2\,\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{a}+\vec{b}\right|\Rightarrow 4\,\vec{a}\cdot \vec{a}=\vec{a}\cdot \vec{a}+2\,\vec{a}\cdot \vec{b}+\left|\vec{b}\right|^2\Rightarrow 4\,\vec{a}\cdot \vec{a}-\vec{a}\cdot \vec{a}-\vec{a}\cdot \vec{a}=2\,\vec{a}\cdot \vec{b}\Rightarrow \vec{a}\left(\vec{a}-\vec{b}\right)=\vec{0}\Rightarrow \vec{a}=\vec{b}}$

Μπορείς να εξηγήσεις την τελευταία συνεπαγωγή;
Ευχαριστώ.

BAGGP93 · #5

Συγγνώμη, υπάρχει λάθος.

Από την τελευταία συνεπαγωγή, έπεται ότι $\displaystyle{\vec{a}\perp \vec{a}-\vec{b}}$ .

Θα το διορθώσω.

BRAHMA · #6

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Α. Αν ισχύει $\left| {\vec{a}} \right|=\left| {\vec{\beta }} \right|=\frac{1}{2}\left| \vec{a}+\vec{\beta } \right|$ , να δείξετε ότι $\vec{a}=\vec{\beta }$
Β. Δίνονται τα διανύσματα $\vec{a},\vec{\beta }$ τέτοια ώστε $\left| \vec{a}+\vec{\beta } \right|=4$ .
Να βρείτε τον $\rho \in \mathbb{R}$ καθώς και το διάνυσμα $\vec{x}$ αν ισχύουν
$\left| \vec{x}+\vec{a} \right|=\rho$ και $\left| \vec{x}-\vec{\beta } \right|=3\rho -{{\rho }^{2}}$

Α.
Αν θέσω $|\overrightarrow a | = |\overrightarrow b | = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow a + \overrightarrow b | = k \geqslant 0$ έχω:

$4{k^2} = |\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \Rightarrow {(\overrightarrow a - \overrightarrow b )^2} = 0$ , συνεπώς και $\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Rightarrow \boxed{\overrightarrow a = \overrightarrow b }$

Β.
Πρέπει πρώτα-πρώτα $r \geqslant 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,r(3 - r) \geqslant 0$ δηλαδή $0 \leqslant r \leqslant 3$ .

Είναι: $4 = |\overrightarrow b + \overrightarrow a | = |\overrightarrow x + \overrightarrow a - (\overrightarrow x - \overrightarrow b )| \leqslant |\overrightarrow x + \overrightarrow a | + |\overrightarrow x - \overrightarrow b | = 4r - {r^2}$ και άρα

${(r - 2)^2} \leqslant 0 \Rightarrow \boxed{r = 2}$ . Αναγκαστικά έτσι τα διανύσματα $\overrightarrow x + \overrightarrow a \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow x - \overrightarrow \beta \,\,\,$ είναι

αντίθετα οπότε $\boxed{\overrightarrow x = \frac{{\overrightarrow b - \overrightarrow a }}{2}}$

BRAHMA

Διανυσματική Εμβάθυνση 1 (ΔΕΛΤΙΟ 12)

Διανυσματική Εμβάθυνση 1 (ΔΕΛΤΙΟ 12)

Re: Διανυσματική Εμβάθυνση 1

Re: Διανυσματική Εμβάθυνση 1

Re: Διανυσματική Εμβάθυνση 1

Re: Διανυσματική Εμβάθυνση 1

Re: Διανυσματική Εμβάθυνση 1

Μέλη σε σύνδεση