απορια στα διανυσματα (ασκηση 12/Σελ48)

[Kostaskom]

Έλυσα την άσκηση 12 / Σελ 48 (του σχολικού βιβλίου) με τον εξής τρόπο :

Θεώρησα ως κάθετες συνιστώσες του διανύσματος τις και , με παράλληλη στο [ \displaystyle{=}\displaystyle{=} ] και κάθετη στο (\displaystyle{\vec{\beta }_{2}}).

Άρα η σχέση \displaystyle{=}\displaystyle{+} γίνεται \displaystyle{=}\displaystyle{+} (1) και πολλαπλασίασα εσωτερικά τη σχεση (1) με το διανυσμα .

Δηλαδή \displaystyle{\vec{\beta }_{1}}\displaystyle{\lambda \vec{\alpha}}\displaystyle{+}\displaystyle{\vec{\beta }_{1}\Leftrightarrow\vec{\beta }}=\displaystyle{\vec{\beta }_{1}\Leftrightarrow-16\lambda -20\lambda =4\lambda ^{2}+16\lambda ^{2}\Leftrightarrow-36\lambda =20\lambda ^{2}\lambda =0\lambda =-\frac{9}{5}\vec{\beta }_{1}} ή \displaystyle{=-\frac{9}{5}\vec{\alpha }\vec{\beta }_{2}}\displaystyle{\vec{\beta }\vec{\beta }_{2}} αντίστοιχα.


Η απορία μου είναι γιατί βρισκω δύο λύσεις με αυτό τον τρόπο, ενώ όλοι οι άλλοι τρόποι βγάζουν μόνο μία.

[Mihalis_Lambrou]

Το βήμα στη τρίτη γραμμή (πολλαπλασιασμός εσωτερικά) δεν αντιστρέφεται. Οπότε είναι αναμενόμενο να εισαχθούν και άλλες λύσεις. Αν αυτό δεν είναι κατανοητό, δες το ακόλουθο παράδειγμα.

Θέλω να λύσω στο R την εξίσωση 2x = 2. Δεν κάνω τον οικονομικότερο δρόμο αλλά υψώνω στο τετράγωνο.
Έχω λοιπόν . Βρήκα δηλαδή δύο ρίζες, όμως ξέρω ότι έχω μόνο μία. Που μπήκε η άλλη;

Ελπίζω να βοήθησα.

Μ.

[Kostaskom]

Θα μπορουσα να λύσω την ίδια άσκηση πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά την σχέση (1) με το διάνυσμα α (έτσι την λύνει το λυσάρι και κάποια φροντιστηριακά βοηθήματα) και με αυτό τον τρόπο θα έβρισκα μόνο μία λύση.
Το θέμα είναι ότι και οι δύο λύσεις ικανοποιούν τα δεδομένα της άσκησης (στο παράδειγμα που γράψατε η λύση x=-1 δεν επαλήθεύει την 2x=2)

[Νασιούλας Αντώνης]

H πρώτη σου λύση είναι ουσιαστικά σαν να μην έχεις αναλύσει το διάνυσμα καθώς το ένα είναι το μηδενικό και το άλλο συμπίπτει με το αρχικό.
Φιλικά, Αντώνης

[Kostaskom]

Όταν λέμε να αναλύσουμε ένα διάνυσμα σε δύο συνιστώσες πρέπει και οι δύο να είναι διαφορετικές από το μηδενικό διάνυσμα ;
Επομένως στις λύσεις που βρήκα πρέπει να απορρίψω το μηδενικό διάνυσμα ?

[Νασιούλας Αντώνης]

Όταν λέμε να αναλύσουμε ένα διάνυσμα σε δύο συνιστώσες πρέπει και οι δύο να είναι διαφορετικές από το μηδενικό διάνυσμα ;
Επομένως στις λύσεις που βρήκα πρέπει να απορρίψω το μηδενικό διάνυσμα ?

Επειδή δεν δόθηκε απάντηση από κάποιον καθηγητή και για να μην μείνει αναπάντητο το ερώτημα σου απαντάω με μια μικρή επιφύλαξη καθώς συγκεκριμένος ορισμός του τι είναι ανάλυση ενός διανύσματος δεν υπάρχει στο σχολικό. Ακόμα και στο γραμμικό συνδυασμό (ουσιαστικά αυτό μας ζητάνε όταν λένε να αναλύσουμε ένα διάνυσμα σε δυο συνιστώσες, να το γράψουμε ως γραμμικό συνδυασμό δυο διανυσμάτων) δεν αναφέρει μη μηδενικά.
Στις ερωτήσεις σου τώρα: Θεωρώ ότι η απάντηση είναι ναι και στα δυο.

Φιλικά, Αντώνης

[k-ser]

Η απορία μου είναι γιατί βρισκω δύο λύσεις με αυτό τον τρόπο, ενώ όλοι οι άλλοι τρόποι βγάζουν μόνο μία.

Επειδή το μηδενικό διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί ότι σχηματίζει οποιαδήποτε γωνία με κάθε άλλο διάνυσμα, η λύση την οποία δίνεις είναι σωστή.

Οι άλλοι τρόποι που αναφέρεις, μάλλον, δεν λαμβάνουν υπόψη τους το εξής:

Αν
και

τότε θα είναι:

, εφόσον .

[Νασιούλας Αντώνης]

To θέμα είναι αν η λύση (λέγοντας λύση εννοώ όχι τη διαδικασία αλλά το αποτέλεσμα) μπορεί να θεωρηθεί σωστή.
Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι είναι σωστή η ανάλυση ενός διανύσματος σε δυο εκ των οποίων το ένα μηδενικό και το άλλο να ταυτίζεται με το αρχικό? ή δεν θεωρείται αυτό το πράγμα ανάλυση?...υπάρχει κάποιος αυστηρός ορισμός?
Αντώνης

[k-ser]

To θέμα είναι αν η λύση (λέγοντας λύση εννοώ όχι τη διαδικασία αλλά το αποτέλεσμα) μπορεί να θεωρηθεί σωστή.
Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι είναι σωστή η ανάλυση ενός διανύσματος σε δυο εκ των οποίων το ένα μηδενικό και το άλλο να ταυτίζεται με το αρχικό? ή δεν θεωρείται αυτό το πράγμα ανάλυση?...υπάρχει κάποιος αυστηρός ορισμός?
Αντώνης

Αντώνη,
αν ζητήσω, να γράψουμε τον αριθμό α ως άθροισμα δύο αριθμών τότε, μία απάντηση απόλυτα σωστή είναι και αυτή: α=α+0.
Τι το ιδιαίτερο, συνεπώς, θα μπορούσε να έχει το ζητούμενο: να γράψω, (αναλύσω), ένα διάνυσμα ως άθροισμα δύο διανυσμάτων, τα οποία έχουν κάποια ιδιότητα;
Κάθε απάντηση που ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος θα είναι δεκτή. Και βέβαια, έχω λύσει το πρόβλημα μόνον όταν έχω βρει όλα τα ζευγάρια των διανυσμάτων, που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος.

Επιπλέον, γιατί να χρειάζεται κάποιος πιο αυστηρός ορισμός στην ανάλυση διανύσματος σε δύο διανύσματα;
Αν θέλουμε να αναλύσουμε το διάνυσμα σε δύο μη μηδενικά διανύσματα... ας κάνουμε τον κόπο να το γράψουμε!

Φιλικά.

[Kostaskom]

Πιστεύω ότι θα ήταν χρήσιμο να ξέρουμε τον αυστηρό ορισμό της ανάλυσης ενός διανύσματος σε δύο συνιστώσες.

- Αν τελικά τα δύο διανύσματα στα οποία θα αναλύσουμε ένα διάνυσμα μπορεί να είναι και τα μηδενικά διανύσματα τότε οι άλλοι τρόποι
(πολλαπλασιασμός με διάνυσμα α, προβολή διανύσματος , συντεταγμένες κτλ) δε μας δίνουν όλες τις λύσεις.

- Αν όμως δε μπορεί να είναι τα μηδενικά διανύσματα , τότε με τον συγκεκριμένο τρόπο λύσης θα πρέπει να απορρίψουμε το μηδενικό
διάνυσμα.

[Νασιούλας Αντώνης]

Κύριε Κώστα (Σερίφη),
όλα όσα λέτε φαίνονται απόλυτα λογικά. Το παράδειγμα που είπατε με το "α=α+0" το είχα σκεφτεί κι εγώ στην προσπάθεια μου να βρω τι ισχύει. Το θέμα είναι -όπως είπε και παραπάνω ο kostaskom- ότι οι ασκήσεις του σχολικού και των εξωσχολικών βιβλίο ούτε αναφέρουν να γίνει η ανάλυση ενός διανύσματος σε δυο μη μηδενικά ούτε όμως στις λύσεις τους παρουσιάζουν την -σωστή κατά τα λεγόμενα σας- απάντηση με το μηδενικό διάνυσμα. Κάπου εδώ δημιουργείται η σύγχυση.
Μια όμως λεπτομέρεια: οι ασκήσεις συνήθως είναι του τύπου: Δίνονται δύο διανύσματα . Να αναλυθεί το σε δύο κάθετες συνιστώσες με τη μια παράλληλη στο (με το να μην είναι ούτε παράλληλο ούτε κάθετο στο ). Αν δεχτούμε ότι μία λύση της άσκησης είναι το μηδενικό διάνυσμα μαζί με ένα άλλο που ταυτίζεται με το διάνυσμα , τότε το μηδενικό διάνυσμα πρέπει να είναι ταυτόχρονα κάθετο στο και παράλληλο στο . Άρα να έχει δύο διευθύνσεις. Κάτι τέτοιο όμως είναι αποδεκτό? Γνωρίζουμε ότι ως φορέα του μηδενικού διανύσματος μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από αυτό, μπορούμε όμως να δεχτούμε ότι αυτό έχει ταυτόχρονα παραπάνω από μια διευθύνσεις? ή όχι? Αν η απάντηση είναι όχι τότε η λύση με το μηδενικό απορρίπτεται και τα βιβλία είναι καλυμμένα. Αν ναι, υπάρχει πρόβλημα.
Αντώνης

[k-ser]

Αντώνη, συγχαρητήρια για την ορθολογική σου σκέψη. Είμαι βέβαιος ότι θα σε οδηγήσει πολύ μακριά από το ...μηδέν!

Το μηδέν, σαν οντότητα ή μη οντότητα, λύνει πολλά προβλήματα αλλά συγχρόνως δημιουργεί και προβλήματα φιλοσοφικών αναζητήσεων.

Αναρωτιέσαι, πολύ σωστά: αν επιλέξω το μηδενικό διάνυσμα να είναι κάθετο στο διάνυσμα α τότε μπορώ να επιλέξω να είναι και παράλληλο στο α;

Προσπάθησε να απαντήσεις στο εξής ερώτημα: Αν γράψω το σύνολο των, κάθετων στο διάνυσμα α, διανυσμάτων και το σύνολο των, παράλληλων στο διάνυσμα α, διανυσμάτων τότε, θα πρέπει να γράψω σαν στοιχείο και των δύο συνόλων το μηδενικό διάνυσμα;
Έχεις δύο επιλογές απάντησης. Θα το γράψεις και στα δύο σύνολα, ή σε κανένα. Αν υποθέσουμε ότι επιλέγεις να το γράψεις σε ένα μόνο από τα δύο τότε, δεν θα μπορέσεις να εξηγήσεις γιατί να το γράψεις σ' αυτό και όχι στο άλλο.

Να, ένα ακόμα ερώτημα: Ονομάζω "καλούς" τους μη αρνητικούς αριθμούς και "κακούς" τους μη θετικούς. Πιστεύεις ότι το 0, αν χαρακτηριστεί "καλός" αριθμός, δεν έχει το "δικαίωμα" να είναι "κακός";

[Ωmega Man]

Μου θυμίσατε τον διάλογο που είχε ένα παιδί με έναν δάσκαλο του στο σχολείο, ο οποίος προσπαθούσε να μάθει στους μαθητές του την διαίρεση. Ρώτησε λοιπόν στην τάξη

"αν έχω τρεις μπανάνες από πόσες θα πάρουν τρία παιδιά; Ένας μαθητής απάντησε από μια . Αν έχω χίλιες μπανάνες από πόσες θα πάρουν χίλια παιδιά ; Η απάντηση ήταν πάλι μία. "

Τότε ένας μαθητής σήκωσε το χέρι και ρώτησε τον δάσκαλο "Αν έχω μηδέν μπανάνες να μοιράσω σε μηδέν παιδιά, θα ισχύει ακόμη ότι θα πάρει ο καθένας από μια;"

Η τάξη γέλασε , όμως ο δάσκαλος κατάλαβε ότι μιλούσε για την απροσδιοριστία . Ο μικρός μαθητής ήταν ο Srinivasa Ramanujan, ο οποίος αργότερα θα γινόταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του κόσμου .

[Νασιούλας Αντώνης]

Αντώνη, συγχαρητήρια για την ορθολογική σου σκέψη. Είμαι βέβαιος ότι θα σε οδηγήσει πολύ μακριά από το ...μηδέν!
Το μηδέν, σαν οντότητα ή μη οντότητα, λύνει πολλά προβλήματα αλλά συγχρόνως δημιουργεί και προβλήματα φιλοσοφικών αναζητήσεων.
Αναρωτιέσαι, πολύ σωστά: αν επιλέξω το μηδενικό διάνυσμα να είναι κάθετο στο διάνυσμα α τότε μπορώ να επιλέξω να είναι και παράλληλο στο α;
Προσπάθησε να απαντήσεις στο εξής ερώτημα: Αν γράψω το σύνολο των, κάθετων στο διάνυσμα α, διανυσμάτων και το σύνολο των, παράλληλων στο διάνυσμα α, διανυσμάτων τότε, θα πρέπει να γράψω σαν στοιχείο και των δύο συνόλων το μηδενικό διάνυσμα;
Έχεις δύο επιλογές απάντησης. Θα το γράψεις και στα δύο σύνολα, ή σε κανένα. Αν υποθέσουμε ότι επιλέγεις να το γράψεις σε ένα μόνο από τα δύο τότε, δεν θα μπορέσεις να εξηγήσεις γιατί να το γράψεις σ' αυτό και όχι στο άλλο.
Να, ένα ακόμα ερώτημα: Ονομάζω "καλούς" τους μη αρνητικούς αριθμούς και "κακούς" τους μη θετικούς. Πιστεύεις ότι το 0, αν χαρακτηριστεί "καλός" αριθμός, δεν έχει το "δικαίωμα" να είναι "κακός";

Κύριε Κώστα,
καταρχάς ευχαριστώ. Κατά δεύτερον, όσο αναφορά το τελευταίο σας ερώτημα: η τομή των συνόλων των "καλών" και των "κακών" αριθμών είναι το 0, άρα το 0 έχει το "δικαίωμα" να χαρακτηριστεί ταυτόχρονα και καλός και κακός χωρίς κανένα πρόβλημα -τουλάχιστον έτσι νομίζω. Το παράδειγμα όμως αυτό πιστεύω πως δεν αντιστοιχεί 100% στην περίπτωση του μηδενικού διανύσματος μιας και το 0 δεν έχουμε το δικαίωμα να το χαρακτηρίσουμε ούτε καλό ούτε κακό. Αν γίνονταν κάτι τέτοιο τότε το 0 δεν θα άνηκε στην ένωση των δύο συνόλων που είναι το R. Άρα εδώ η απάντηση είναι μονοσήμαντη.(ενώ στο παράδειγμα με το μηδενικό δίνεται δύο απαντήσεις)
Όσο αναφορά το μηδενικό διάνυσμα, ο ορισμός του σχολικού λέει "ως διεύθυνση του μηδενικού μπορούμε να θεωρήσουμε...". Αυτό το "μπορούμε να θεωρήσουμε" δεν μας δίνει το δικαίωμα να επιλέξουμε εμείς αυθαίρετα ως διεύθυνσή του όποια εμείς επιθυμούμε και άρα το μηδενικό να μπορεί να τοποθετηθεί σε ένα από τα δύο σύνολα, χωρίς να το εξηγήσουμε, απλώς επειδή έτσι το "θεωρήσαμε"?
Αν δεν έχουμε αυτό το δικαίωμα τότε είμαστε αναγκασμένοι να θεωρήσουμε ότι το μηδενικό έχει ταυτόχρονα ως φορείς όλες τις ευθείες που διέρχονται από αυτό. Γιατί σε διαφορετική περίπτωση θα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποια επιλογή που δεν έχουμε δικαίωμα να κάνουμε. Άρα η απάντηση στο ερώτημά ότι μπορεί να ανήκει σε κανένα από τα δύο είναι λάθος, γιατί δηλώνοντας αυτό, έχουμε κάνει αυτομάτως επιλογή στην διεύθυνσή του που δεν έχουμε δικαίωμα (μιλάω για την δεύτερη περίπτωση, στην οποία δεν έχουμε δικαίωμα αυθαίρετης επιλογής).
Αντώνης

[Νασιούλας Αντώνης]

Μου θυμίσατε τον διάλογο που είχε ένα παιδί με έναν δάσκαλο του στο σχολείο, ο οποίος προσπαθούσε να μάθει στους μαθητές του την διαίρεση. Ρώτησε λοιπόν στην τάξη

"αν έχω τρεις μπανάνες από πόσες θα πάρουν τρία παιδιά; Ένας μαθητής απάντησε από μια . Αν έχω χίλιες μπανάνες από πόσες θα πάρουν χίλια παιδιά ; Η απάντηση ήταν πάλι μία. "

Τότε ένας μαθητής σήκωσε το χέρι και ρώτησε τον δάσκαλο "Αν έχω μηδέν μπανάνες να μοιράσω σε μηδέν παιδιά, θα ισχύει ακόμη ότι θα πάρει ο καθένας από μια;"

Η τάξη γέλασε , όμως ο δάσκαλος κατάλαβε ότι μιλούσε για την απροσδιοριστία . Ο μικρός μαθητής ήταν ο Srinivasa Ramanujan, ο οποίος αργότερα θα γινόταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του κόσμου .

Κύριε Ωmega Man,
λέτε να γίνω κι εγώ σαν το Ραμανατζάν? Βλέπω οι πορείες μας είναι παρόμοιες !!!
Αντώνης

[Ωmega Man]

Μακάρι, η ανθρωπότητα χρειάζεται πολλούς Ραμανουτζάν.

[Kostaskom]

Επιμένοντας στη σημασία του αυστηρού ορισμού της ανάλυσης ενός διανύσματος σε δύο συνιστώσες , δίνω το εξής παράδειγμα :

Δίνονται τα διανύσματα και .
Να αναλυθεί το διάνυσμα σε δυο συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι κάθετη στο και η άλλη παράλληλη στο .

Αν λύσουμε την άσκηση οι μοναδικές συνιστώσες που βρίσκουμε είναι οι εξής και .

Η απορία μου παραμένει. Μπορεί τελικά ένα διάνυσμα να έχει συνιστώσα το μηδενικό διάνυσμα ;

Αν όχι , τότε η παραπάνω άσκηση δεν έχει λύση.

Αν ναι τότε στις ασκήσεις, όπως την άσκηση 12 του σχολικού βιβλίου, υπάρχει πρόβλημα
ή με τις εκφωνήσεις ή με τους τρόπους επίλυσης που δε δίνουν σαν συνιστώσα το μηδενικό διάνυσμα.

[k-ser]

Επιμένοντας στη σημασία του αυστηρού ορισμού της ανάλυσης ενός διανύσματος σε δύο συνιστώσες , δίνω το εξής παράδειγμα :

Κώστα (;), τα μαθηματικά δεν έχουν ανάγκη να δώσουν έναν "αυστηρό ορισμό" της ανάλυσης ενός διανύσματος σε δύο συνιστώσες. Ενδεχομένως, κάποιοι μαθηματικοί - συγγραφείς, να το κάνουν. Για ποιόν λόγο, όμως, να γίνει κάτι τέτοιο; Θα μου απαντήσεις: Για να μας προφυλάξουν, από λάθη διατυπώσεων των ασκήσεων ή των λύσεων. Αυτό, είναι ένα πρόβλημα, αλλά μπορεί να επιλυθεί εύκολα, αν είμαστε πιο προσεκτικοί στις διατυπώσεις μας.

Δίνονται τα διανύσματα .
Να αναλυθεί το διάνυσμα σε δυο συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι κάθετη στο και η άλλη παράλληλη στο .

Αν λύσουμε την άσκηση οι μοναδικές συνιστώσες που βρίσκουμε είναι οι εξής και .

Καλό παράδειγμα.

Αντώνη, Κώστα, διαπιστώσατε κάποιο πρόβλημα στην διατύπωση μιας άσκησης ή της λύσης της. Τέτοια προβλήματα υπάρχουν - συμβαίνει, και στα καλύτερα σπίτια. Σας εξήγησα που βρίσκεται το λάθος. Δεν γνωρίζω αν το καταλάβατε. Αν ναι, να καταγράψουμε, όλοι μας, το πρόβλημα και να πάμε παρακάτω. Αν όχι, τότε δεν μπορώ να σας βοηθήσω περισσότερο.

Αν όμως στέκεστε στο γιατί του προβλήματος, καθώς και στο γιατί, γενικά, των προβλημάτων της ζωής μας, να σας πω τούτο: Ο κόσμος μας δεν είναι τέλειος. Στα πλαίσια των δυνατοτήτων μας, προσπαθούμε για το καλύτερο της ζωής μας, μα ποτέ για το τέλειο. Αυτό δεν υπάρχει, ακόμα και στα Μαθηματικά.

[Νασιούλας Αντώνης]

Κύριε Κώστα,
συμφωνώ με όσα λέτε. Απλώς, από τα παραπάνω μηνύματα εγώ προσωπικά δεν κατάλαβα ότι -τελικά- είναι πρόβλημα των ασκήσεων, για να σταματήσω εκεί.
Ευχαριστώ που ασχοληθήκατε,
Αντώνης

[Kostaskom]

Θα μου επιτρέψετε Κύριε Κώστα να διαφωνήσω όσο αφορά την αυστηρότητα στα μαθηματικά.

Αυτό που πιστεύω είναι ότι τα μαθηματικά είναι περιοχή αυστηρότητας και ακρίβειας.

Τι απαντάμε σε δύο μαθητές που έχουν λύσει την ίδια άσκηση, με σωστό τρόπο και οι δύο, αλλά δεν έχουν βρει τις ίδιες ακριβώς λύσεις ;


Και για να γελάσουμε λίγο : (η αυστηρότητα στα μαθηματικά φαίνεται και στο παρακάτω ανέκδοτο).

Ένας αστρονόμος, ένας φυσικός και ένας μαθηματικός ήταν διακοπές στη Σκωτία. Χαζεύοντας έξω από το παράθυρο
του τρένου παρατήρησαν ένα μαύρο πρόβατο που καθόταν στη μέση ενός αγρού.

"Πολύ ενδιαφέρον!" παρατήρησε ο αστρονόμος, "όλα τα σκωτσέζικα πρόβατα είναι μαύρα!"

'Οπου σε αυτό ο φυσικός απάντησε: "'Οχι, όχι! Μερικά σκωτσέζικα πρόβατα είναι μαύρα!"

Και ο μαθηματικός τόνισε με έμφαση: "Στη Σκωτία υπάρχει τουλάχιστον ένας αγρός, ο οποίος
περιέχει τουλάχιστον ένα πρόβατο, του οποίου τουλάχιστον μια πλευρά είναι μαύρη."