Εύρεση σημείου από διανυσματική ισότητα

mekst4v · #1

Καλησπέρα παιδιά,

θα ήθελα να ευχηθώ για δεύτερη φορά καλή αρχή και καλές γιορτές. Είμαι μαθητής Β' Λυκείου και τη συγκεκριμένη περίοδο

κάνω επαναλήψεις και ασκήσεις πάνω στα διανύσματα. Ελπίζω να δέχεστε απορίες!
Συνάντησα πριν μερικά λεπτά δύο ασκήσεις οι οποίες με προβλημάτισαν ως προς το αποτέλεσμα. Για να καταλάβετε ακριβώς περί τίνος γράφω, παραθέτω τις ασκήσεις μαζί με τη διαδικασία που ακολούθησα για να τις λύσω.

1.Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Ρ τέτοιο ώστε να ισχύει:
$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P \varGamma}+\overrightarrow{P \varDelta}=\vec0~(1)$

Θεώρησα σημείο αναφοράς το Α, οπότε η (1) μετασχηματίζεται σε:
$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P \varGamma}+\overrightarrow{P \varDelta}=\vec0 \Leftrightarrow -\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A \varGamma}-\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A \varDelta}-\overrightarrow{A P}=\vec0 \Leftrightarrow \overrightarrow{A P}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A \varGamma}+\overrightarrow{A \varDelta})$

Εξέφρασα, δηλαδή, το διάνυσμα $\overrightarrow{A P}$ συναρτήσει των γνωστών διανυσμάτων $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A \varGamma}, \overrightarrow{A \varDelta}$ . Οπότε, το Ρ προσδιορίζεται στο επίπεδο σχετικά εύκολα.

2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε να ισχύει:
$\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M \varGamma}=\overrightarrow{M \varDelta}~(1)$

Θεώρησα σημείο αναφοράς το Α, οπότε.. η (1) μετασχηματίζεται σε:
$\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M \varGamma}=\overrightarrow{M \varDelta} \Leftrightarrow -\overrightarrow{A M}+ \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A \varGamma}-\overrightarrow{A M}= \overrightarrow{A \varDelta}-\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{A M}= \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A \varGamma}-\overrightarrow{A \varDelta} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{A M} = \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{\varDelta \varGamma} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{A M} = 2\overrightarrow{A B} \Leftrightarrow \overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}$

Επομένως, $M \equiv B$ . Πράγματι, αν στην (1) αντικαταστήσω την κοινή αρχή Μ των διανυσμάτων με Β προκύπτει η παρακάτω διανυσματική ισότητα που αληθεύει:
$\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B B}+\overrightarrow{B \varGamma}=\overrightarrow{B \varDelta} \Leftrightarrow \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B \varGamma}=\overrightarrow{B \varDelta}$ (κανόνας παραλληλογράμμου).

Θα ήθελα να μου πείτε αν:

α) υπάρχει συντομότερη διαδικασία για να λύσω την πρώτη άσκηση
β) είναι σωστή η διαδικασία που ακολούθησα για να λύσω τη δεύτερη άσκηση. Σημείωση: στη δεύτερη άσκηση ο συγγραφέας βρίσκει $M \equiv A$ .

Σταύρος Μ.

#2

Γειά σου Στέλιο!
Στο πρώτο σου θέμα δε βλέπω κάποιο λάθος στην προσέγγιση σου.Έγω θα επέλεγα να δουλέψω χρησιμοποιώντας τα μέσα των διανυσμάτων ΑΒ και ΓΔ.Αν αυτά τα πούμε Κ,Λ τότε το Ρ ταυτίζεται με το μέσο του διανύσματος ΚΛ...
Στο δεύτερο,είσαι απόλυτα σωστός.Αν βάλεις όπου Μ το Α προκύπτει κάποια αναληθής ισότητα διανυσμάτων,εξώφθαλμη και σε ένα πρόχειρο παραλληλόγραμμο,που σίγουρα θα έχεις δημιουργήσει...
Αυτά απο εμένα,ελπίζω να σε βοήθησα,καλό διάβασμα!

mekst4v · #3

chris_gatos, ευχαριστώ για την απάντηση. Τώρα που κοιτάω ξανά στις λύσεις, ο συγγραφέας δίνει στην πρώτη άσκηση την ίδια υπόδειξη με τη δική σου. Ωστόσο, στη δεύτερη ο συγγραφέας δίνει λάθος αποτέλεσμα (βοήθημα Μπάρλας -> σελ. 44 -> ασκ. 44).

By the way, Σταύρος ονομάζομα όχι Στελάρας!

#4

Γράψε λάθος Σταύρο μου...

antonis_math · #5

Για την 2η μπορείς να κάνεις και τα εξής:
$\begin{array}{l} \overrightarrow {{\rm M}{\rm A}} + \overrightarrow {{\rm M}{\rm B}} + \overrightarrow {{\rm M}\Gamma } = \overrightarrow {{\rm M}\Delta } \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm M}{\rm A}} + \overrightarrow {{\rm M}{\rm B}} = \overrightarrow {\Gamma {\rm M}} + \overrightarrow {{\rm M}\Delta } = \overrightarrow {\Gamma \Delta } = \overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm M}{\rm B}} = \overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} + \overrightarrow {{\rm A}{\rm M}} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm M}{\rm B}} = \overrightarrow {{\rm B}{\rm M}} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {{\rm M}{\rm B}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {\rm M} \equiv {\rm B} \\ \end{array}$

για την 1η θα σου πρότεινα να πάρεις σαν σημείο αναφορας το μέσο του ΚΛ (έστω Ο) οπως σου είπε ο Χρήστος, στον οποίον εύχομαι και χρόνια πολλά έστω εταιροχρονισμένα, και θα βγεί οτι
$\overrightarrow {{\rm O}{\rm P}} = \overrightarrow 0$ ,
οπότε ${\rm P} \equiv {\rm O}$

Εύρεση σημείου από διανυσματική ισότητα

Εύρεση σημείου από διανυσματική ισότητα

Re: Εύρεση σημείου από διανυσματική ισότητα

Re: Εύρεση σημείου από διανυσματική ισότητα

Re: Εύρεση σημείου από διανυσματική ισότητα

Re: Εύρεση σημείου από διανυσματική ισότητα

Μέλη σε σύνδεση