Δημιουργία διχοτόμου

KARKAR · #1

: Δημιουργία διχοτόμου.png (26.01 KiB) Προβλήθηκε 897 φορές

Από το σημείο

διέρχεται ευθεία , η οποία τέμνει τους κύκλους (O) , (K)

, στα "δυτικότερα"

σημεία P , T

αντίστοιχα . Εξετάστε αν η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{SOP}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 11, 2025 4:52 am
Από το σημείο διέρχεται ευθεία , η οποία τέμνει τους κύκλους , στα "δυτικότερα"

σημεία αντίστοιχα . Εξετάστε αν η είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{SOP}$ .

: dim dih.png (20.38 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Nαι, είναι διχοτόμος: Αρκεί να δείξουμε ότι $\dfrac {PT}{TS}=\dfrac {OP}{OS} \.(*)$

Εδώ OP=3, KO=KT=2, OS=6, KS=6-2=4

. Έχουμε $\dfrac {OS}{KS}=\dfrac {6}{4}$ που τυχαίνει να είναι ίσο με το $\dfrac {OP}{KT}$ (αφού OP=3, KT= 2

). Άρα από Θαλή OP//KT

.

Συνεπώς, πάλι από Θαλή, $\dfrac {PT}{TS}=\dfrac {OK}{KS} = \dfrac {2}{4}$ που τυχαίνει να είναι ίσο με $\dfrac {OP}{OS}$ (αφού OP=3, OS=6

). Άρα ισχύει η (*)

. Τελειώσαμε.

#3

.
Αξίζει ένα σχόλιο στην προηγούμενη άσκηση.

Είναι αυτονόητο ότι η

δεν είναι πάντα διχοτόμος, αλλά στην συγκεκριμένη άσκηση τα νούμερα έχουν επιλεγεί σωστά. Ας δούμε ποια είναι αυτή η επιλογή, όταν έχουμε ακτίνες a,b

με

(στην θέση των

και

), δηλαδή όταν οι κύκλοι είναι οι x^2+y^2=a^2

και

. Ισχυρίζομαι ότι τότε μπορούμε να πάρουμε $OS = \dfrac {ab}{a-b}$ (το βρήκα λύνοντας μία εξίσωση, που θα φανεί ποια). Με βάση το προηγούμενο σχήμα:

Εδώ $OP=a, KO=KT=b, OS=\dfrac {ab}{a-b}, KS= \dfrac {ab}{a-b}-b = \dfrac {b^2}{a-b}$ .

Έχουμε μετά τις πράξεις ότι $\dfrac {OS}{KS}=\dfrac {a}{b}$ που τυχαίνει να είναι ίσο με το $\dfrac {OP}{KT}$ . Άρα από Θαλή OP//KT

.

Συνεπώς, πάλι από Θαλή και μετά τις πράξεις, είναι $\dfrac {PT}{TS}=\dfrac {OK}{KS} =\dfrac {a-b}{b}$ που τυχαίνει να είναι ίσο με $\dfrac {OP}{OS}$ .

Άρα ισχύει $\dfrac {PT}{TS}=\dfrac {OP}{OS}$ , που δείχνει ότι η

είναι διχοτόμος.

Εννοείται ότι για να ισχύει αυτό (με δεδομένες ακτίνες a,b

) πρέπει να επιλέξουμε το

ώστε να ισχύει $\dfrac {OK}{KS}= \dfrac {OP}{OS}$ , δηλαδή να επιλέξουμε $\dfrac {b}{OS-b}=\dfrac {a}{OS}$ . Λύνοντας, θα βρούμε

$\boxed {OS = \dfrac {ab}{a-b}}$ , όπως έγραψα παραπάνω.

Dimessi · #4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 11, 2025 4:52 am
Δημιουργία διχοτόμου.pngΑπό το σημείο διέρχεται ευθεία , η οποία τέμνει τους κύκλους , στα "δυτικότερα"

σημεία αντίστοιχα . Εξετάστε αν η είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{SOP}$ .

Επειδή : $\dfrac{{DE}}{{DS}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{{OE}}{{OS}}$ , η τετράδα $\left( {E,S\backslash O,D} \right)$ είναι αρμονική , Επί πλέον $OT \bot TD$ γιατί η $\widehat {OTD}$ βαίνει σε ημικύκλιο .
.

: Δημιουργία διχοτόμου_0.png (30.39 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

.
Συνεπώς στο $\vartriangle TED$ οι $TD\,\,,\,\,TO$ είναι εσωτερική και εξωτερική διχοτόμοι . Τότε όμως , $\vartriangle POT = \vartriangle TEO$ ( έμμεσο κριτήριο).

Το ζητούμενο τώρα προφανές

Δημιουργία διχοτόμου

Δημιουργία διχοτόμου

Re: Δημιουργία διχοτόμου

Re: Δημιουργία διχοτόμου

Re: Δημιουργία διχοτόμου

Re: Δημιουργία διχοτόμου

Μέλη σε σύνδεση