Απορία για συνημίτονο γωνίας δυο διανυσμάτων

[forscience]

Καλησπέρα στο φόρουμ είμαι νέο μέλος εδώ. Θα ήθελα αν μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει, γιατί χρησιμοποιούμε συγκεκριμένα για το εσωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων και όχι πχ ;

vector.png (4.42 KiB) Προβλήθηκε 4036 φορές

[george visvikis]

Καλησπέρα στο φόρουμ είμαι νέο μέλος εδώ. Θα ήθελα αν μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει, γιατί χρησιμοποιούμε συγκεκριμένα για το εσωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων και όχι πχ ;


vector.png

Καλησπέρα,

Έτσι είναι ο ορισμός.

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα στο φόρουμ είμαι νέο μέλος εδώ. Θα ήθελα αν μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει, γιατί χρησιμοποιούμε συγκεκριμένα για το εσωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων και όχι πχ ;

Τίποτα δεν μας απαγορεύει να ορίσουμε μία καινούργια έννοια στα Μαθηματικά με όποιο τρόπο θέλουμε. Όμως είναι πιο εποικοδομητικό να ορίσουμε έννοιες οι οποίες είναι λειτουργικές και έχουν ωραίες ιδιότητες. Για παράδειγμα το εσωτερικό γινόμενο όπως ορίζεται, με , σχετίζεται με τον Νόμο των Συνημιτόνων στα τρίγωνα και αποδεικνύεται ένας απλός τύπος, ο , για τον υπολογισμό του. Τα παραδείγματα χρήσης του εσωτερικού γινομένου, όπως ορίζεται, είναι πάμπολλα και έχει πολλές ιδιότητες και εφαρμογές.

Μια και το φέρνει η συζήτηση, υπάρχει ένα δεύτερο γινόμενο στα διανύσματα, το λεγόμενο "εξωτερικό γινόμενο" που συμβολίζεται ως , το οποίο εμπεριέχει το . Δεν δίνω τον ορισμό του γιατί είναι εκτός σχολικής ύλης, όμως αν θέλεις να δεις την πιο πρόσφατη χρήση του στο δικό μας φόρουμ, δες το ποστ #8 εδώ

[forscience]

Καλησπέρα,

Έτσι είναι ο ορισμός.

Καλησπέρα,

Όχι υπάρχει λογική εξήγηση, αλλιώς θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε στο εσωτερικό γινόμενο οποιαδήποτε τριγωνομετρικό αριθμό.

Τίποτα δεν μας απαγορεύει να ορίσουμε μία καινούργια έννοια στα Μαθηματικά με όποιο τρόπο θέλουμε. Όμως είναι πιο εποικοδομητικό να ορίσουμε έννοιες οι οποίες είναι λειτουργικές και έχουν ωραίες ιδιότητες. Για παράδειγμα το εσωτερικό γινόμενο όπως ορίζεται, με , σχετίζεται με τον Νόμο των Συνημιτόνων στα τρίγωνα και αποδεικνύεται ένας απλός τύπος, ο , για τον υπολογισμό του. Τα παραδείγματα χρήσης του εσωτερικού γινομένου, όπως ορίζεται, είναι πάμπολλα και έχει πολλές ιδιότητες και εφαρμογές.

Μια και το φέρνει η συζήτηση, υπάρχει ένα δεύτερο γινόμενο στα διανύσματα, το λεγόμενο "εξωτερικό γινόμενο" που συμβολίζεται ως , το οποίο εμπεριέχει το . Δεν δίνω τον ορισμό του γιατί είναι εκτός σχολικής ύλης, όμως αν θέλεις να δεις την πιο πρόσφατη χρήση του στο δικό μας φόρουμ, δες το ποστ #8 εδώ

Χαίρεται, λοιπόν μέχρι στιγμής η λύση που βρήκα είναι ότι το εσωτερικό γινόμενο έχει μια συγκεκριμένη γωνία θ και αυτή αν πάρουμε τον νόμο για το ορθογώνιο τρίγωνο δεν έχει απέναντι κάθετο πλευρά που μας επιτρέπει μόνο να το ορίσουμε σε τριγωνομετρικούς αριθμούς, είτε με το συνημίτονο, είτε με την διατέμνουσα. Επειδή θαρρώ πως με την διατέμνουσα η πολυπλοκότητα κατανόησης θα ήταν σαφώς μεγαλύτερη απ ότι με την βοήθεια του συνημιτόνου, ορίζεται μόνο με το συνημίτονο. Στην συνέχεια το διάνυσμα είναι προβολή πάνω στο διάνυσμα της μορφής , τότε ορίζεται για την προβολή = και συνολικά έχουμε = . Αυτή είναι μέχρι στιγμής η λογική εξήγηση που βρήκα. Αν κάνω λάθος διορθώστε με, δεν είμαι μαθηματικός, αλλά φοιτητής ΗΜΥΣ στο πανεπιστήμιο του Ανοβέρου.

[george visvikis]

Καλησπέρα,

Έτσι είναι ο ορισμός.

Καλησπέρα,

Όχι υπάρχει λογική εξήγηση, αλλιώς θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε στο εσωτερικό γινόμενο οποιαδήποτε τριγωνομετρικό αριθμό.

Οι ορισμοί είναι ορισμοί και δεν υπάρχουν λογικές εξηγήσεις στους ορισμούς. Το ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων Θα μπορούσε να ονομάζεται κάπως αλλιώς. Αυτό δεν έχει καμία σημασία. Μην προσπαθούμε να εξηγήσουμε τις ονομασίες στους ορισμούς.

Αν πρέπει να εξηγήσουμε κάτι, είναι ο τρόπος χρησιμοποίησής του και η εφαρμογή του. Για παράδειγμα από τη Φυσική, το έργο ορίζεται ως εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ενώ η ροπή ως εξωτερικό γινόμενο.

[Christos.N]

Δες λίγο εδώ και εδώ, πάντως στον Katz πoυ έριξα μια ματιά ανάγεται στην θεμελίωση των κουατερνίων του Hamilton αλλά ο συμβολισμός οφείλεται στον Willard Gibbs(1839-1903).

[forscience]

Οι ορισμοί είναι ορισμοί και δεν υπάρχουν λογικές εξηγήσεις στους ορισμούς. Το ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων Θα μπορούσε να ονομάζεται κάπως αλλιώς. Αυτό δεν έχει καμία σημασία. Μην προσπαθούμε να εξηγήσουμε τις ονομασίες στους ορισμούς.

Αν πρέπει να εξηγήσουμε κάτι, είναι ο τρόπος χρησιμοποίησής του και η εφαρμογή του. Για παράδειγμα από τη Φυσική, το έργο ορίζεται ως εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ενώ η ροπή ως εξωτερικό γινόμενο.

Στην φυσική όμως αυτός ο ορισμός έχει σαφέστατα μια έννοια, διότι έχουμε να κάνουμε με ηλεκτροστατικά πεδία τα οποία ορίζονται από διανύσματα και τα διανύσματα σε εμάς παίζουν σημαντικό ρόλο στην κατανόηση ενός απειροστικού στοιχείου που κινείται στον χώρο. Στο εξωτερικό γινόμενο η ροπή για παράδειγμα στην φυσική εξαρτάται από την επίδραση της δύναμης κουλόμπ πάνω σε μικρά απειροστικά σωματίδια, δηλαδή δίπολα αν η γωνία των δυνάμεων είναι μηδενική τότε η ροπή είναι ίση με το μηδέν. Με το ημίτονο καταλαβαίνουμε την αλληλεπίδραση των σωματιδίων στο χώρο.

[Mihalis_Lambrou]

Όχι υπάρχει λογική εξήγηση, αλλιώς θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε στο εσωτερικό γινόμενο οποιαδήποτε τριγωνομετρικό αριθμό.

Χαίρεται, λοιπόν μέχρι στιγμής η λύση που βρήκα είναι ότι το εσωτερικό γινόμενο έχει μια συγκεκριμένη γωνία θ και αυτή αν πάρουμε τον νόμο για το ορθογώνιο τρίγωνο δεν έχει απέναντι κάθετο πλευρά που μας επιτρέπει μόνο να το ορίσουμε σε τριγωνομετρικούς αριθμούς, είτε με το συνημίτονο, είτε με την διατέμνουσα. Επειδή θαρρώ πως με την διατέμνουσα η πολυπλοκότητα κατανόησης θα ήταν σαφώς μεγαλύτερη απ ότι με την βοήθεια του συνημιτόνου, ορίζεται μόνο με το συνημίτονο. Στην συνέχεια το διάνυσμα είναι προβολή πάνω στο διάνυσμα της μορφής , τότε ορίζεται για την προβολή = και συνολικά έχουμε = . Αυτή είναι μέχρι στιγμής η λογική εξήγηση που βρήκα. Αν κάνω λάθος διορθώστε με, δεν είμαι μαθηματικός, αλλά φοιτητής ΗΜΥΣ στο πανεπιστήμιο του Ανοβέρου.

Νομίζω ότι ξεφύγαμε. Κάνεις τα εύκολα δύσκολα.

Η λακωνική απάντηση του Γιώργου Βισβίκη στο πρώτο του ποστ, τα λέει όλα. Προσπάθησα να σου δώσω λίγο περισσότερο από την αιτιότητα/χρησιμότητα του εν λόγω ορισμού, και δεν το κατανόησες. Ουσιαστικά ρωτάς γιατί τον ελέφαντα τον λέμε ελέφαντα (συνημίτονο) και όχι τίγρη (ημίτονο). Πες και συ.

[Ratio]

Καλησπέρα στο φόρουμ είμαι νέο μέλος εδώ. Θα ήθελα αν μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει, γιατί χρησιμοποιούμε συγκεκριμένα για το εσωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων και όχι πχ ;


vector.png

Στην ουσία αναλύεις το σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μεν είναι κάθετη στο και η είναι παράλληλη στο . Επομένως δεν θα είχε νόημα να χρησιμοποιήσεις την κάθετη συνιστώσα εφόσον τότε το εσωτερικο γινόμενο θα ήταν .
Από την άλλη πάλι αν θέλεις οπωσδήποτε να χρησιμοποιήσεις θα αλλάξεις τρίγωνο αναφοράς και θα χρησιμοποιήσεις το πράσινο τρίγωνο .

Στιγμιότυπο οθόνης (50).png (104.5 KiB) Προβλήθηκε 3838 φορές

ΥΓ Μια συμβουλή: Επειδή διάβασα και κάποιες αναφορές στη στροφορμή και τα εξωτερικά γινόμενα, καλό είναι όχι απλά να μαθαίνεις τις έννοιες αλλά κυρίως να κατανοείς. Για να κατανοήσεις όμως πρέπει να ανατρέξεις στα στοιχειώδη αλλά με ουσιαστικές ερωτήσεις

[forscience]

Στην ουσία αναλύεις το σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μεν είναι κάθετη στο και η είναι παράλληλη στο . Επομένως δεν θα είχε νόημα να χρησιμοποιήσεις την κάθετη συνιστώσα εφόσον τότε το εσωτερικο γινόμενο θα ήταν .
Από την άλλη πάλι αν θέλεις οπωσδήποτε να χρησιμοποιήσεις θα αλλάξεις τρίγωνο αναφοράς και θα χρησιμοποιήσεις το πράσινο τρίγωνο .

Πολύ σωστή παρατήρηση! Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση! Θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε με την συντέμνουσα την γωνία των δυο διανυσμάτων για το εσωτερικό γινόμενο; Γιατί σε αυτή την περίπτωση μπορεί να ισχύει = υποτείνουσα/ προσκείμενη πλευρά.

ΥΓ Μια συμβουλή: Επειδή διάβασα και κάποιες αναφορές στη στροφορμή και τα εξωτερικά γινόμενα, καλό είναι όχι απλά να μαθαίνεις τις έννοιες αλλά κυρίως να κατανοείς. Για να κατανοήσεις όμως πρέπει να ανατρέξεις στα στοιχειώδη αλλά με ουσιαστικές ερωτήσεις

Μα αυτός είναι ακριβώς ο σκοπός μου, διότι το εσωτερικό γινόμενο συνδυάζεται με το grad(f) και μου δείχνει την μεταβολή ενός μικρού απειροστικού στοιχείου στο χώρο. Απλά ήθελα να δω την διεύθυνση, φορά που ακολουθεί το απειροστικό στοιχείο σε συνδυασμό με το συνημίτονο και αν υπήρχε κάποιος συγκεκριμένος λόγος που χρησιμοποιούμε το συνημίτονο. Αυτό μόνο.

[Mihalis_Lambrou]

Μα αυτός είναι ακριβώς ο σκοπός μου, διότι το εσωτερικό γινόμενο συνδυάζεται με το grad(f) και μου δείχνει την μεταβολή ενός μικρού απειροστικού στοιχείου στο χώρο. Απλά ήθελα να δω την διεύθυνση, φορά που ακολουθεί το απειροστικό στοιχείο σε συνδυασμό με το συνημίτονο και αν υπήρχε κάποιος συγκεκριμένος λόγος που χρησιμοποιούμε το συνημίτονο. Αυτό μόνο.

Ξεφύγαμε τελείως, μα τελείως. Η αρχική ερώτηση ήταν γιατί στο εσωτερικό γινόμενο γράφουνε αντί . Και μάλιστα η ερώτηση ήταν στον φάκελο της Β' Λυκείου! Τώρα, τι δουλειά έχει εκεί το και τα απειροστά στοιχεία στο ηλεκτροστατικό πεδίο, είναι απορίας άξιον. Και σίγουρα είναι η λάθος απάντηση σε όποιον φάκελο και αν ήταν η αρχική ερώτηση. O λόγος είναι διότι η απάντηση είναι πρωθύστερη (*). Το και τα απειροστά στοιχεία στο ηλεκτροστατικά πεδίο ήλθαν μετά το εσωτερικό γινόμενο.

(*) Για να το κάνω λιανά, πες ότι ρώταγα γιατί ορίστηκε η τετραγωνική ρίζα και έπαιρνα την απάντηση: "Μα είναι προφανές, απλούστατα γιατί είναι απαραίτητη στους μετασχηματισμούς Lorentz της Θεωρίας Σχετικότητας". Σωστά; Όχι βέβαια, εκτός αν επιμένουμε να συγχέουμε το αίτιο με το αιτιατό.

[forscience]

Ναι είναι κάτι παραπάνω, η επόμενή μου ερώτηση θα είναι στα θέματα του πανεπιστημίου ή αν είναι υπερβολική η απάντησή μου, μπορεί κάποιος συντονιστής να την διαγράψει.

[Ratio]

Θα συμφνήσω με αυτό που σου είπε ο κύριος Λαμπρου ακριβώς πιο πάνω. Κατανόησε αυτά που έχεις διδαχθεί , κατανόησε γιατί πρέπει να κάνουμε προβολές σε άξονες , πώς γίνονται οι προβολές και πώς λειτουργούν , έχει λίγη υπομονή να περάσεις σε κάποια ανώτατη σχολή να δεις πώς λειτουργούν τα διανύσματα στο χώρο και εκεί να είσαι βέβαιος/βέβαιη ότι θα σε περιμένουν όλα να τα δείς κάτω από το πρίσμα που πρέπει.

[kkala]

Η άμεση απάντηση στο #1 (forsience) εναι αυτή που δόθηκε στο 2 (george visvikis). Πιθανόν όμως η ερώτηση να αφορούσε κατά βάθος το σκοπό για τον οποίο ορίστηκε έτσι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων. Χρήσιμα τότε θα ήσαν το #3 (Mihalis_Lambrou) και #9 (Ratio), ίσως και η παρακάτω εκτίμηση.
Ο διανυσματικός λογισμός αναπτύχθηκε πρός το τέλος του 19ου αιώνα και διευκόλυνε τη σύνθεση ή ανάλυση δυνάμεων. Η έννοια του έργου w στη μηχανική (μονόμετρο μέγεθος) ήταν προγενέστερη (π.χ. Joule, 1842) και το εσωτερικό γινόμενο διευκόλυνε την έκφρασή του.
Η στοιχειώδης έκφραση του έργου αφορά δύναμη που μεταθέτει το σημείο εφαρμογής της κατά το συγγραμμικό διάνυσμα . Το αποτέλεσμα είναι αν τα δύο διανύσματα είναι ομόρροπα και αν είναι αντίρροπα.
Στην (καταχρηστική) περίπτωση που δύναμη και διάνυσμα μετακίνησης δεν είναι συγγραμμικά, η δύναμη αναλύεται σε δύο συνιστώσες, μία κάθετη και μια παράλληλη προς . Η κάθετη συνιστώσα δεν παράγει έργο (όπως αποδεικνύει η Φυσική), ενώ η παράλληλη αποτελεί την προβολή της δύναμης στο . Το μέτρο της παράλληλης συνιστώσας (προβολής) είναι . Το έργο δηλαδή κατουσίαν αφορά την μετακίνηση της προβολής της στη μετατόπιση , που είναι συγγραμμικά διανύσματα.


Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις το έργο W εκφράζεται με ακρίβεια και κομψότητα από το εσωτερικό γινόμενο
. Δύσκολα άλλος τριγωνομετρικός αριθμός θα ήταν βολικός για την έφραση αυτή.
Βλέπουμε λοιπόν ότι η περίπτωση του μηχανικού έργου διευκολύνεται από το εσωτερικό γινόμενο όπως έχει ορισθεί, δηλαδή χρησιμοποιώντας το cosθ (θ=γωνία των δύο διανυσμάτων).