περίκεντρο και παραμετρική κύκλου

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #1

Α) Θεωρούμε τα διαφορετικά σημεία $\displaystyle{A(a,0)}$ , $\displaystyle{B(b,0)}$ . Να αποδείξετε οτι , για κάθε πραγματική τιμή του $\lambda$ , η εξίσωση
$\displaystyle{(x-a)(x-b)+y^2+\lambda y = 0}$
παριστάνει κύκλο , ο οποίος διέρχεται απο τα Α , Β .

Β) Να βρείτε το περίκεντρο του τριγώνου με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{A(2,0) , B(-6,0) , C(1,-1)}$ .

#2

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:Α) Θεωρούμε τα διαφορετικά σημεία $\displaystyle{A(a,0)}$ , $\displaystyle{B(b,0)}$ . Να αποδείξετε οτι , για κάθε πραγματική τιμή του $\lambda$ , η εξίσωση
$\displaystyle{(x-a)(x-b)+y^2+\lambda y = 0}$
παριστάνει κύκλο , ο οποίος διέρχεται απο τα Α , Β .

Β) Να βρείτε το περίκεντρο του τριγώνου με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{A(2,0) , B(-6,0) , C(1,-1)}$ .

Καλησπέρα.

Α) Η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{{x^2} + {y^2} - (a + b)x + \lambda y + ab = 0}$

Είναι: $\displaystyle{{(a + b)^2} + {\lambda ^2} - 4ab = {(a - b)^2} + {\lambda ^2} > 0}$ (είναι $\displaystyle{a \ne b}$ αφού τα σημεία, $\displaystyle{A(a,0)}$ , $\displaystyle{B(b,0)}$ είναι διαφορετικά μεταξύ τους), άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε πραγματική τιμή του $\lambda$ , με κέντρο

$\displaystyle{K\left( {\frac{{a + b}}{2}, - \frac{\lambda }{2}} \right)}$ και ακτίνα $\displaystyle{\rho = \frac{{\sqrt {{{(a - b)}^2} + {\lambda ^2}} }}{2}}$ . Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι οι αυντεταγμένες των A, B

επαληθεύουν την

εξίσωση του κύκλου.

: Περίκεντρο και παραμετρική.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

Β) Από το προηγούμενο ερώτημα η εξίσωση του κύκλου είναι:

$\displaystyle{(x - 2)(x + 6) + {y^2} + \lambda y = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4x + \lambda y - 12 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x = 1,y = - 1} }$ $\boxed{\lambda=-6}$

Άρα το περίκεντρο του τριγώνου είναι $\boxed{K( - 2,3)}$

περίκεντρο και παραμετρική κύκλου

περίκεντρο και παραμετρική κύκλου

Re: περίκεντρο και παραμετρική κύκλου

Μέλη σε σύνδεση