8Β-Διανύσματα

Α.Κυριακόπουλος · #1

Θεωρούμε ένα τρίγωνο ABC

. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων

του επιπέδου του τριγώνου αυτού, για τα οποία ισχύει: $\left( {\overrightarrow {{\rm M}{\rm A}} + \overrightarrow {{\rm M}{\rm B}} + \overrightarrow {MC} } \right)||\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right)$ .

#2

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θεωρούμε ένα τρίγωνο . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου του τριγώνου αυτού, για τα οποία ισχύει: $\left( {\overrightarrow {{\rm M}{\rm A}} + \overrightarrow {{\rm M}{\rm B}} + \overrightarrow {MC} } \right)||\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right)$ .

Με συντεταγμένες:

Ας είναι $\displaystyle{A(0,0),~B(1,0),~C(a,b)}$ με $\displaystyle{(a,b)\ne (0,0)\wedge (a,b)\ne (1,0).}$

Εύκολα βρίσκουμε

$\displaystyle{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(1+a-3x,b-3y)}$

και

$\displaystyle{\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=(2+3a-6x,3b-6y).}$

Όμως, είναι

$\displaystyle{(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})||(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}) \iff \det (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC})=0 \iff}$

$\displaystyle{\iff (1+a-3x)(3b-6y)=(b-3y)(2+3a-6x)=0 \iff ...\iff 3bx-3ay=b,}$

η οποία είναι ευθεία που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{\Big(\frac{1}{3},0\Big)}$ και είναι παράλληλη στην πλευρά $\displaystyle{AC.}$

#3

Aς είναι

το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC

,

το μέσο του

και

το μέσο του

.

Είναι $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3 \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+2(\overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC})=2(\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{ME})$

Έστω

το σημείο για το οποίο $\overrightarrow{ZD}+2\overrightarrow{ZE}=\overrightarrow{0}$ . Τότε

$\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3 \overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MZ}$

Άρα $(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC})\parallel(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3 \overrightarrow{MC})\Leftrightarrow \overrightarrow{MG}\parallel\overrightarrow{MZ}$

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι επομένως η ευθεία

.

Σημείωση Εφόσον $3\overrightarrow {GZ}=\overrightarrow{AD}$ , είναι $GZ\parallel AC$

#4

Με άλλο τρόπο
Έστω $\displaystyle{\,\,\,\,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \,\,\,\,,\,\,\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \,\,}$
Τότε
$\displaystyle{\overrightarrow {{\rm{MA}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {{\rm{MA}}} + \overrightarrow {{\rm{M{\rm A}}}} + \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} + \overrightarrow {M{\rm A}} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {MA} + \overrightarrow a + \overrightarrow b \,}$
Και
$\displaystyle{\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {{\rm{MA}}} + 2\overrightarrow {{\rm{M{\rm A}}}} + 2\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} + 3\overrightarrow {M{\rm A}} + 3\overrightarrow {AC} = 6\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \,}$
Η παραλληλία είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη :
Υπάρχει $\displaystyle{\,\,\,k \in R\,\,\,}$ ώστε :
$\displaystyle{3\overrightarrow {MA} + \overrightarrow a + \overrightarrow b \, = k(6\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b ) \Leftrightarrow (6k - 3)\overrightarrow {MA} = (1 - 2k)\overrightarrow a + (1 - 3k)\overrightarrow b }$
Αν $\displaystyle{6{\rm{k - 3 = }}\,{\rm{0}}\,\,\,\,\,}$ , προκύπτει άτοπο
Οπότε $\displaystyle{\,\,\,\,\,\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{{1 - 3k}}{{6k - 3}}\overrightarrow b \,\,\,\,\,}$
Πάνω στην $\displaystyle{\,AB\,\,\,}$ θεωρώ σημείο $\displaystyle{\,\,\,D\,\,}$ , ώστε $\displaystyle{\,\,\overrightarrow {AD} = \,\frac{1}{3}\overrightarrow a \,\,}$
Τότε
$\displaystyle{\begin{array}{l} \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {AD} + \frac{{1 - 3k}}{{6k - 3}}\overrightarrow b \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MD} = \frac{{1 - 3k}}{{6k - 3}}\overrightarrow {AC} \,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,k \ne \frac{1}{2}\,\,\, \\ \end{array}}$

Που σημαίνει ότι το $\displaystyle{\,\,\,\,M\,\,}$ ανήκει σε ευθεία που διέρχεται από το γνωστό σημείο $\displaystyle{\,\,\,D\,\,\,}$ και είναι παράλληλη στην ευθεία $\displaystyle{\,AC\,\,\,}$

8Β-Διανύσματα

8Β-Διανύσματα

Re: 8Β-Διανύσματα

Re: 8Β-Διανύσματα

Re: 8Β-Διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση