Παραγωγή καθετότητας

KARKAR · #1

: Παραγωγή καθετότητας.png (21.15 KiB) Προβλήθηκε 1903 φορές

Τα

είναι σημεία ενός κύκλου και το

εσωτερικό του σημείο , ώστε το τετράπλευρο ABST

να είναι

παραλληλόγραμμο . Αν για το σημείο

του κύκλου είναι : $CA \perp AB$ , δείξτε ότι είναι και : $CT \perp AS$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 29, 2025 11:41 am
Παραγωγή καθετότητας.pngΤα είναι σημεία ενός κύκλου και το εσωτερικό του σημείο , ώστε το τετράπλευρο να είναι

παραλληλόγραμμο . Αν για το σημείο του κύκλου είναι : $CA \perp AB$ , δείξτε ότι είναι και : $CT \perp AS$ .

: Παραγωγή καθετότητας.png (19.03 KiB) Προβλήθηκε 1889 φορές

Προφανώς το

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ACS.

#3

Aς το δούμε και με Αναλυτική, επειδή δεν θέλει σκέψη.

Για ευκολία γυρίζω το σχήμα ανάποδα για να είναι οι κάθετες, άξονες. Επίσης αλλάζω τα γράμματα: Η υπόθεση είναι $QA\perp OB$ και θέλουμε να δείξουμε ότι $BT\perp OS$ .

Είναι A(2a,0), B(0,2b)

και άρα το κέντρο του κύκλου είναι το K(a,b)

, που σημαίνει ότι ο κύκλος είναι ο (x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2

. Επίσης θέτουμε T(p,q)

, οπότε η άλλη άκρη

του παραλληλογράμμου είναι η S(p+2a,q)

.

Επειδή το

είναι στον κύκλο σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωσή του, δηλαδή ισχύει (a+p)^2+(q-b)^2=a^2+b^2

. Ισοδύναμα

$\boxed {(2a+p)p+q(q-2b)=0}$ (*)

H ζητούμενη καθετότητα, ως προς κλίσεις, μεταφράζεται ως $\dfrac {q-0}{2a+p} \cdot \dfrac {2b-q}{0-p} =-1$ . Ισοδύναμα, αφού διώξουμε τον παρονομαστή,

q(2b-q)= p(2a+p)

Αλλά αυτή ισχύει γιατί είναι ίδια με την (*), όπως θέλαμε.
.

#4

Επιπρόσθετη παραλλαγή: Να λύσετε την άσκηση με χρήση διανυσμάτων.

Παραγωγή καθετότητας

Παραγωγή καθετότητας

Re: Παραγωγή καθετότητας

Re: Παραγωγή καθετότητας

Re: Παραγωγή καθετότητας

Μέλη σε σύνδεση