Που κινείται το μέσο ;

KARKAR · #1

: Που κινείται το μέσο ; .png (11.62 KiB) Προβλήθηκε 1574 φορές

Τα σημεία

και

, κινούνται στις ευθείες $y=\dfrac{1}{2}x$ και $y=-\dfrac{1}{2}x$ αντίστοιχα , με το μήκος

του τμήματος

να είναι σταθερά

. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου

του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 14, 2025 10:30 am
Που κινείται το μέσο ; .pngΤα σημεία και , κινούνται στις ευθείες $y=\dfrac{1}{2}x$ και $y=-\dfrac{1}{2}x$ αντίστοιχα , με το μήκος

του τμήματος να είναι σταθερά . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του .

Τα

και

είναι της μορφής $P(2p,p),\, S(2s,-s)$ . Αφού PS=8

, ισχύει

$\boxed {(2p-2s)^2+(p+s)^2=8^2}$ .

Αν M(x,y)

τότε αφού το

είναι το μέσον του

έχουμε $x= p+s, \, y=\dfrac {p-s}{2}$ , οπότε $p+s=x, \,p-s=2y$ .

Θέτοντας αυτά στην παραπάνω σχέση, έχουμε (4y)^2+ x^2=8^2

, ισοδύναμα $\boxed {x^2+16y^2=64 }$ . Πρόκειται για εξίσωση έλλειψης. Το

κινείται σε τμήμα αυτής της έλλειψης.

Χάρης Γ.Λ. · #3

Κάτι παρόμοιο
Ζητημα 2ο (1η Δέσμη 1992)
Β.α) Δίνονται οι ευθείες $\displaystyle y = \lambda \cdot x$ και $\displaystyle y = - \lambda \cdot x$ με $\displaystyle \lambda > 0$ και $\displaystyle x > 0$ και ευθεία (ε) η οποία τις τέμνει στα σημεία Α και Β . Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.
β) Να δειχθεί ότι το σημείο Μ γράφει τον ένα κλάδο υπερβολής όταν η ευθεία (ε) κινείται έτσι ώστε τα τρίγωνο ΟΑΒ να έχει σταθερό εμβαδόν $\displaystyle {k^2}$ .

Που κινείται το μέσο ;

Που κινείται το μέσο ;

Re: Που κινείται το μέσο ;

Re: Που κινείται το μέσο ;

Μέλη σε σύνδεση