Κάθετες ευθείες και γεωμετρικός μέσος

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η δέσμη

$\displaystyle{x^2 - y^2 + 4\lambda x + 2 \lambda y +3 \lambda^2 =0 \quad, \quad \lambda \in \mathbb{R} \quad (1)}$

Να δειχθεί ότι η παριστάνει δύο ευθείες $(\varepsilon_1)$ , $(\varepsilon_2)$ που είναι κάθετες.
Να βρεθεί το σημείο τομής $\mathrm{M}$ των ευθειών $(\varepsilon_1)$ , $(\varepsilon_2)$ .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\mathrm{M}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 22, 2024 2:52 pm
Δίδεται η δέσμη

$\displaystyle{x^2 - y^2 + 4\lambda x + 2 \lambda y +3 \lambda^2 =0 \quad, \quad \lambda \in \mathbb{R} \quad (1)}$

Να δειχθεί ότι η παριστάνει δύο ευθείες $(\varepsilon_1)$ , $(\varepsilon_2)$ που είναι κάθετες.

Να βρεθεί το σημείο τομής $\mathrm{M}$ των ευθειών $(\varepsilon_1)$ , $(\varepsilon_2)$ .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\mathrm{M}$ .

Η δοσμένη εξίσωση γράφεται $\displaystyle {(x + 2\lambda )^2} - {(y - \lambda )^2} = 0 \Leftrightarrow (x + y + \lambda )(x - y + 3\lambda ) = 0$

(i) Έχουμε λοιπόν τις ευθείες $\boxed{{\varepsilon _1}:x + y + \lambda = 0}$ και $\boxed{{\varepsilon _2}:x - y + 3\lambda = 0}$ με αντίστοιχους

συντελεστές διεύθυνσης

και

δηλαδή είναι κάθετες ευθείες.

(ii) λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων βρίσκω το σημείο τομής $\boxed{M( - 2\lambda ,\lambda )}$

(iii) Αν M(x,y),

τότε $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} x = - 2\lambda \hfill \\ 2y = 2\lambda \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{x+2y=0}$ που είναι η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου.

Κάθετες ευθείες και γεωμετρικός μέσος

Κάθετες ευθείες και γεωμετρικός μέσος

Re: Κάθετες ευθείες και γεωμετρικός μέσος

Μέλη σε σύνδεση