Συναισθηματική σταθερότητα

KARKAR · #1

: Συναισθηματική σταθερότητα.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 1175 φορές

Σημείο

κινείται στον ημιάξονα

. Με υποτείνουσα την

σχεδιάζουμε στο πρώτο

τεταρτημόριο , ορθογώνιο τρίγωνο TOP

, με $\widehat{POT}=60^0$ . Η μεσοκάθετη της

τέμνει την σταθερή ευθεία y=k

στο σημείο

, ενώ η μεσοκάθετη του

τέμνει

τον

στο σημείο

. Δείξτε ότι το

είναι σταθερό και βρείτε το

, αν

.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 03, 2019 9:13 am
Συναισθηματική σταθερότητα.pngΣημείο κινείται στον ημιάξονα . Με υποτείνουσα την σχεδιάζουμε στο πρώτο

τεταρτημόριο , ορθογώνιο τρίγωνο , με $\widehat{POT}=60^0$ . Η μεσοκάθετη της

τέμνει την σταθερή ευθεία στο σημείο , ενώ η μεσοκάθετη του τέμνει

τον στο σημείο . Δείξτε ότι το είναι σταθερό και βρείτε το , αν .

Έστω ότι

Είναι $\lambda_{OT}=tan 60^o = \sqrt3$ και η εξίσωση της

είναι $y=\sqrt3 x$ .
Επειδή η

είναι κάθετη στην

είναι
$\lambda_{PT}=-\frac{\sqrt3}{3}$ και η εξίσωση της

είναι $y=-\frac{\sqrt3}{3} x +\frac{m\sqrt3}{3}$
Άρα λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών

και

βρίσκουμε ότι $T(\frac{m}{4}, \frac{m\sqrt3}{4})$ και οι συντεταγμένες του μέσου

του

είναι $M(\frac{5m}{8},\frac{m\sqrt3}{8})$
Η εξίσωση της

που είναι κάθετη στη

είναι $y-\frac{m\sqrt3}{8}=\sqrt3(x-\frac{5m}{8})$ και το

, σημείο τομής αυτής με την y=k

, έχει συντεταγμένες $Q(\frac{2k\sqrt3 +3m}{6},k)$
και $\lambda_{QT}=\frac{\sqrt3(4k-m\sqrt3}{4k+m\sqrt3}$
To

είναι το μέσο του

οπότε $N(\frac{9m+4k\sqrt3}{24},\frac{m\sqrt3+4k}{8})$
$\lambda_{NS}=\frac{4k+m\sqrt3}{\sqrt3(m\sqrt3 - 4k}$
και η εξίσωση της

είναι
$y-\frac{m\sqrt3+4k}{8}=\frac{4k+m\sqrt3}{\sqrt3(m\sqrt3 – 4k)}(x-\frac{9m+4k\sqrt3}{24})$
Από την τελευταία εξίσωση για y=0

βρίσκουμε ότι $x=\frac{2k\sqrt3}{3}$ ,
δηλαδή $S(\frac{2k\sqrt3}{3},0)$ . Άρα το σημείο

είναι σταθερό.
Αν S(4,0)

τότε $\frac{2k\sqrt3}{3}=4$ οπότε είναι $k=2\sqrt3$ .

S.E.Louridas · #3

Από γεωμετρική άποψη και μετά από την όμορφη λύση του Νίκου:

Αν ${l_1}$ η πάνω παράλληλη και ${l_2}$ η κάτω παράλληλη, $L \equiv OT \cap {l_1}$ και

μέσο του

, τότε, το τετράπλευρο LTFQ

, ως ισοσκελές τραπέζιο, είναι εγγράψιμμο σε κύκλο

Αν

είναι το άλλο σημείο τομής του κύκλου

με την

το τρίγωνο TSQ

είναι ισόπλευρο και επομένως $S \equiv {S{'}}.$
Όμως $\angle OLS = \frac{\pi }{3},$ με την ημιευθεία

να είναι σταθερή, επομένως το

είναι σταθερό.

#4

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 03, 2019 9:49 pm
Από γεωμετρική άποψη και μετά από την όμορφη λύση του Νίκου:

Αν ${l_1}$ η πάνω παράλληλη και ${l_2}$ η κάτω παράλληλη, $L \equiv OT \cap {l_1}$ και μέσο του , τότε, το τετράπλευρο , ως ισοσκελές τραπέζιο, είναι εγγράψιμμο σε κύκλο
Αν είναι το άλλο σημείο τομής του κύκλου με την το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και επομένως $S \equiv {S{'}}.$
Όμως $\angle OLS = \frac{\pi }{3},$ με την ημιευθεία να είναι σταθερή, επομένως το είναι σταθερό.

Ρουά Ματ!!!

Συναισθηματική σταθερότητα

Συναισθηματική σταθερότητα

Re: Συναισθηματική σταθερότητα

Re: Συναισθηματική σταθερότητα

Re: Συναισθηματική σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση