Γινόμενο από διαφορά

KARKAR · #1

: Γινόμενο από διαφορά.png (22.28 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές

Το ισόπλευρο τρίγωνο ABC

έχει πλευρά

. Το

είναι σημείο του περικύκλου του .

Αν είναι : SA -SC =2

, υπολογίστε το γινόμενο $SA \cdot SC$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2024 10:04 am
Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά . Το είναι σημείο του περικύκλου του .

Αν είναι : , υπολογίστε το γινόμενο $SA \cdot SC$ .

Από τον Νόμο των Συνιμητόνων στο ASC

έχουμε

$6^2= AC^2 = SA^2+SC^2 - 2SA \cdot SC \cos 60 = [(SA-SC)^2 + 2SA \cdot SC] - SA \cdot SC= 4 +SA \cdot SC$

από όπου

$SA \cdot SC=32$ .

(διόρθωσα λογιστικό).

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2024 10:04 am
Γινόμενο από διαφορά.pngΤο ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά . Το είναι σημείο του περικύκλου του .

Αν είναι : , υπολογίστε το γινόμενο $SA \cdot SC$ .

Κατασκευάζοντας τα ισόπλευρα τρίγωνα CSK,ASD

,προφανώς

,άρα

ισοσκελές τραπέζιο και με Πτολεμαίο

$AK^2+AD.KC=AC^2\Rightarrow 4+AD.KC=36 \Rightarrow AD.KC=AS.CS=32$

: Γινόμενο από διαφορά.png (23.49 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2024 10:04 am
Tο ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά . Το είναι σημείο του περικύκλου του .

Αν είναι : , υπολογίστε το γινόμενο $SA \cdot SC$ .

Θα γίνει χρήση της γνωστής ιδιότητας (βγαίνει π.χ. από Πτολεμαίο στο ABSC

) ότι

, ισοδύναμα SA-SC = SB=d

.

Γράφουμε κύκλο κέντρου

και ακτίνας BS=d

. Ισχύει τότε από το ισόπλευρο τρίγωνο BSF

η ισότητα

.

Έχουμε τώρα από την δύναμη του σημείου

ως προς τον μικρό κύκλο $SA\cdot SC= SA \cdot AF = AD\cdot AE = (a+d)(a-d)$ .

Στο αριθμητικό παράδειγμα είναι a=6, d=2

, οπότε $SA\cdot SC=32$
.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2024 10:04 am
Γινόμενο από διαφορά.pngΤο ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά . Το είναι σημείο του περικύκλου του .

Αν είναι : , υπολογίστε το γινόμενο $SA \cdot SC$ .

$\displaystyle 2 = SA - SC = SB$ και με 2ο θεώρημα Πτολεμαίου στο ABSC:

$\displaystyle \frac{{SA}}{6} = \frac{{36 + 2SC}}{{12 + 6SC}} \Leftrightarrow 2SA + SA \cdot SC = 36 + 2SC \Leftrightarrow$ $\boxed{SA \cdot SC = 36 - 4 = 32}$

Γινόμενο από διαφορά

Γινόμενο από διαφορά

Re: Γινόμενο από διαφορά

Re: Γινόμενο από διαφορά

Re: Γινόμενο από διαφορά

Re: Γινόμενο από διαφορά

Μέλη σε σύνδεση