Εμβαδόν

Eustathia p. · #1

: Εμβαδόν.png (10.38 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Στο πιο πάνω σχήμα να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου , ABC

Ιστοσελίδα · #2

Eustathia p. έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 01, 2024 6:25 pm

Στο πιο πάνω σχήμα να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ,

: shape.png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές

Οι γωνίες

είναι ίσες με $\theta + C$ , άρα τα ορθ. τρίγωνα ADB,DEB

είναι όμοια.

Φέρω $DZ \bot BC$ , οπότε οι DE,BD

είναι διχοτόμοι των γωνιών ZDC,ABC

αντίστοιχα.

Η συνέχεια στο σχήμα…

Pi3.1415 · #3

Στο τρίγωνο DEB $\angle DEB=90-\theta ^{\circ}\Leftrightarrow \angle DEC=90+\theta ^{\circ}$ . Στο τρίγωνο DEC $\angle DCE=180-\theta -90-\theta =90-2\theta$ , και στο τρίγωνο ABC $\angle ABC=90-\angle ACB=2\theta$ . Άρα $\angle ABD=\angle DBE=\theta$ και έπεται ότι $ABD\sim DBE$ .
Από τις σχέσεις όμοιων τριγώνων έχουμε: $\frac{4}{DE}=\frac{BD}{10}\Rightarrow BD=\frac{40}{DE}\Rightarrow BD^2=\frac{1600}{DE^2}$ . Εφαρμόζοντας ΠΘ στο DBE έχουμε: $\frac{1600}{DE^2}+DE^2=100$ . Οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $\frac{1600}{x^2}+x^2=100$ είναι η $x_{1}=2\sqrt{5}$ και η $x_{2}=4\sqrt{5}$ . Άρα $DE=2\sqrt{5}$ και $BD=4\sqrt{5}$ . Με ΠΘ στο ABD βρίσκουμε πως AB=8

. Φέρνω το ύψος DZ στο τρίγωνο DBE και έπειτα συνεχίζω όπως ο κύριος Νάννος και βρίσκω πως $(ABC)=\frac{128}{3}$ .

Ιστοσελίδα · #4

Pi3.1415 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 01, 2024 8:20 pm
Στο τρίγωνο DEB $\angle DEB=90-\theta ^{\circ}\Leftrightarrow \angle DEC=90+\theta ^{\circ}$ . Στο τρίγωνο DEC $\angle DCE=180-\theta -90-\theta =90-2\theta$ , και στο τρίγωνο ABC $\angle ABC=90-\angle ACB=2\theta$ . Άρα $\angle ABD=\angle DBE=\theta$ και έπεται ότι $ABD\sim DBE$ .
Από τις σχέσεις όμοιων τριγώνων έχουμε: $\frac{4}{DE}=\frac{BD}{10}\Rightarrow BD=\frac{40}{DE}\Rightarrow BD^2=\frac{1600}{DE^2}$ . Εφαρμόζοντας ΠΘ στο DBE έχουμε: $\frac{1600}{DE^2}+DE^2=100$ . Οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $\frac{1600}{x^2}+x^2=100$ είναι η $x_{1}=2\sqrt{5}$ και η $x_{2}=4\sqrt{5}$ . Άρα $DE=2\sqrt{5}$ και $BD=4\sqrt{5}$ . Έχουμε πως $tan(DBE)=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ , άρα $\theta =30^{\circ}$ . Με ΠΘ στο ABD βρίσκουμε πως , και αφού $\angle ABC=2\theta =60^{\circ}$ , $AC=AB\cdot tan(ABC)=AB\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ . Άρα $(ABC)=\frac{8\cdot 4\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}$
Βλέπω έχω βγάλει διαφορετικό αποτέλεσμα... μπορεί κάποιος να μου πει που έχω κάνει λάθος;

Pi3.1415 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 01, 2024 8:20 pm
Έχουμε πως $tan(DBE)=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ , άρα $\theta =30^{\circ}$ .

Καλημέρα και καλή Ανάσταση.

Το λάθος βρίσκεται αφενός στην αντικατάσταση και αφετέρου στο ότι όταν η εφαπτομένη ισούται με 0,5 η γωνία δεν είναι 30 μοίρες (μπερδεύτηκες μάλλον με το ημίτονο).

Pi3.1415 · #5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 02, 2024 7:01 am

Pi3.1415 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 01, 2024 8:20 pm
Στο τρίγωνο DEB $\angle DEB=90-\theta ^{\circ}\Leftrightarrow \angle DEC=90+\theta ^{\circ}$ . Στο τρίγωνο DEC $\angle DCE=180-\theta -90-\theta =90-2\theta$ , και στο τρίγωνο ABC $\angle ABC=90-\angle ACB=2\theta$ . Άρα $\angle ABD=\angle DBE=\theta$ και έπεται ότι $ABD\sim DBE$ .
Από τις σχέσεις όμοιων τριγώνων έχουμε: $\frac{4}{DE}=\frac{BD}{10}\Rightarrow BD=\frac{40}{DE}\Rightarrow BD^2=\frac{1600}{DE^2}$ . Εφαρμόζοντας ΠΘ στο DBE έχουμε: $\frac{1600}{DE^2}+DE^2=100$ . Οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $\frac{1600}{x^2}+x^2=100$ είναι η $x_{1}=2\sqrt{5}$ και η $x_{2}=4\sqrt{5}$ . Άρα $DE=2\sqrt{5}$ και $BD=4\sqrt{5}$ . Έχουμε πως $tan(DBE)=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ , άρα $\theta =30^{\circ}$ . Με ΠΘ στο ABD βρίσκουμε πως , και αφού $\angle ABC=2\theta =60^{\circ}$ , $AC=AB\cdot tan(ABC)=AB\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ . Άρα $(ABC)=\frac{8\cdot 4\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}$
Βλέπω έχω βγάλει διαφορετικό αποτέλεσμα... μπορεί κάποιος να μου πει που έχω κάνει λάθος;

Pi3.1415 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 01, 2024 8:20 pm
Έχουμε πως $tan(DBE)=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ , άρα $\theta =30^{\circ}$ .
Καλημέρα και καλή Ανάσταση.

Το λάθος βρίσκεται αφενός στην αντικατάσταση και αφετέρου στο ότι όταν η εφαπτομένη ισούται με 0,5 η γωνία δεν είναι 30 μοίρες (μπερδεύτηκες μάλλον με το ημίτονο).

Ευχαριστώ και καλή Ανάσταση!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Eustathia p. έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 01, 2024 6:25 pm
Εμβαδόν.png
Στο πιο πάνω σχήμα να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ,

Η ισότητα των γωνιών $\theta$ είναι προφανής.Άρα AD=DK=4

.Επειδή $\omega > \theta \Rightarrow c >4$

Ισχύει $4^2=BK.KE=c(10-c) \Leftrightarrow c^2-10c+16=0\Rightarrow c=8$ ή c=2

.Άρα

και

$\dfrac{EZ}{c} = \dfrac{x}{x+10} \Rightarrow \dfrac{2}{8}= \dfrac{x}{x+10} \Rightarrow x= \dfrac{10}{3} \Rightarrow a= \dfrac{40}{3} \Rightarrow b= \dfrac{32}{3}$

Εύκολα τώρα $(ABC)= \dfrac{bc}{2} = \dfrac{128}{3}$

: εμβαδόν.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές

Εμβαδόν

Εμβαδόν

Re: Εμβαδόν

Re: Εμβαδόν

Re: Εμβαδόν

Re: Εμβαδόν

Re: Εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση