Τρίγωνο σε τετράγωνο

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (12.14 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου ABCD.

STOPJOHN · #2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 18, 2024 3:33 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου

Eστω $TK\perp EM$

Τότε από το εγγράψιμο τετράπλευρο $TKBM,\hat{TMK}=45=\hat{TBK}$

δηλαδή τα σημεία

B,T,O

είναι συνευθειακά

$EM^{2}=2EK^{2},20=EK.EK\Rightarrow EM=2\sqrt{10},AE=\dfrac{x\sqrt{5}}{2}-2\sqrt{10},$

Απο το θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο

$ABM,AT=\dfrac{\sqrt{5}x}{3},AT=AE+ET=\dfrac{x\sqrt{5}}{2}-\sqrt{10}\Rightarrow \dfrac{x\sqrt{5}}{3} =\dfrac{x\sqrt{5}}{2}-\sqrt{10}\Rightarrow x=6\sqrt{2}$

#3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 18, 2024 3:33 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου και KE=KM=x.

Είναι $\displaystyle {x^2} = 20 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=2\sqrt 5}$ και $\boxed{EM=2\sqrt{10}}$

: Τρίγωνο σε τετράγωνο.ΜΝ.png (10.48 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

$\displaystyle \frac{{(EKM)}}{{(AKM)}} = \frac{{ME}}{{MA}} \Leftrightarrow \frac{{20}}{{AK \cdot a}} = \frac{{2\sqrt {10} }}{{a\sqrt 5 }} \Leftrightarrow AK = 5\sqrt 2$

$\displaystyle K{B^2} = {x^2} - {a^2} \Leftrightarrow {\left( {2a - 5\sqrt 2 } \right)^2} = 20 - {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - 4a\sqrt 2 + 6 = 0,$

με δεκτή ρίζα $a=3\sqrt 2 (*),$ άρα $\boxed{AB=2a=6\sqrt 2}$

(*)

Επειδή $a<x=2\sqrt 5$ και $\displaystyle AB > AK \Leftrightarrow 2a > 5\sqrt 2,$ έχουμε τον περιορισμό $\boxed{\frac{{5\sqrt 2 }}{2} < a < 2\sqrt 5}$

#4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 18, 2024 3:33 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου

Ας είναι

η προβολή του

στην

και η πλευρά του τετραγώνου

.

Επειδή $\omega + \theta = 45^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\tan \omega = \dfrac{1}{2}$ αναγκαστικά για την οξεία γωνία $\theta$ από τον τύπο : $\dfrac{{\tan \omega + \tan \theta }}{{1 - \tan \omega \tan \theta }} = \tan 45^\circ = 1$ , έχω $\tan \theta = \dfrac{1}{3}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

: τρίγωνο σε τετράγωνο.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές

Αλλά $M{K^2} = M{B^2} + K{B^2} \Rightarrow M{K^2} = {a^2} + {x^2} \Rightarrow MK = \sqrt {{a^2} + {x^2}}$ . Αφού όμως $\left( {KME} \right) = \dfrac{1}{2}M{K^2} \Rightarrow M{K^2} = 20\,\,\,\left( 2 \right)$ . Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ ,

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {a^2} = 20 \hfill \\ a = 3x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \sqrt 2 \hfill \\ a = 3\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{AB = 2a = 6\sqrt 2 }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 18, 2024 3:33 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου

Ο περίκυκλος του $\triangle EKM$ τέμνει την

στο

και την

στο

Είναι $\angle KPB=45^0 \Rightarrow PB=BK=x$ κι έστω AK=y

.Επειδή οι κόκκινες γωνίες προφανώς είναι

ίσες και $\angle AMK=45^0 \Rightarrow \angle NMB=45^0 \Rightarrow BN=BM= \dfrac{a}{2}$

Ισχύει (θ.Steiner) $\dfrac{AN.y}{BN.x} = \dfrac{AM^2}{MB^2}= \dfrac{ \dfrac{5a^2}{4} }{ \dfrac{a^2}{4} }=5 \Rightarrow \dfrac{y}{x}=5 \Rightarrow x= \dfrac{a}{6}$

Τώρα με Π.Θ στο $\triangle KBM \Rightarrow a= 6 \sqrt{2}$

: Τρίγωνο σε τετράγωνο.png (23 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

Τρίγωνο σε τετράγωνο

Τρίγωνο σε τετράγωνο

Re: Τρίγωνο σε τετράγωνο

Re: Τρίγωνο σε τετράγωνο

Re: Τρίγωνο σε τετράγωνο

Re: Τρίγωνο σε τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση