Γωνίες ειδικού τραπεζίου

#1

: Γωνίες ειδικού τραπεζίου.png (11.03 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές

Δίνεται τραπέζιο ABCD (AB||CD)

με

και $\dfrac{AC}{BD}=\sqrt 7.$

Να βρείτε την πλευρά BC=x,

συναρτήσει του

καθώς και τις γωνίες του τραπεζίου.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 17, 2024 11:22 am
Γωνίες ειδικού τραπεζίου.png
Δίνεται τραπέζιο με και $\dfrac{AC}{BD}=\sqrt 7.$

Να βρείτε την πλευρά συναρτήσει του καθώς και τις γωνίες του τραπεζίου.

Αν

συμμετρικό του

ως προς

και $BC \cap DA=Z$ έχουμε AECD

παραλ/μμο.

Επιπλέον ,θα είναι ZB=BC

άρα

,συνεπώς $BD \bot ZC$ άρα x^2=4a^2-BD^2

Από θ.διαμέσου στο τρίγωνο AEC

έχουμε

$\Rightarrow a^2+AC^2=2x^2+2a^2=2(4a^2-BD^2)+2a^2 \Rightarrow 2BD^2+AC^2=9a^2$ και

AC^2=7BD^2

οπότε εύκολα παίρνουμε BD=a

,συνεπώς $x=a \sqrt{3}$

Έτσι $\angle A=60^0, \angle D=120^0, \angle ABC=90^0+60^0=150^0 , \angle BCD=30^0$

: γωνίες ειδικού τραπεζίου.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 17, 2024 11:22 am
Γωνίες ειδικού τραπεζίου.png
Δίνεται τραπέζιο με και $\dfrac{AC}{BD}=\sqrt 7.$

Να βρείτε την πλευρά συναρτήσει του καθώς και τις γωνίες του τραπεζίου.

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

Αν

θα είναι $AC = k\sqrt 7 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = k$ .

Ας είναι ακόμα

το μέσο του

. Τα τετράπλευρα $ADMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AMCB$ είναι παραλληλόγραμμα γιατί : $AB = //DM = a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = //MC = a$ .

: Γωνίες ειδικού τραπεζίου_Ανάλυση.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές

Έτσι τώρα

κατά συνέπεια το $\vartriangle BDC$ είναι ορθογώνιο στο

. Από Π. Θ. στο $\vartriangle BDC$ και 1ο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle ADC$ έχω :

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} = 4{a^2} - {k^2} \hfill \\ {a^2} + 7{k^2} = 2{x^2} + \frac{{4{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .
Γραμμικό σύστημα με αγνώστους τα ${x^2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{k^2}$ όπου x,k > 0.

Οπότε προκύπτει : $k = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = a\sqrt 3 .$ Τα υπόλοιπα προφανή .

: Γωνίες ειδικού τραπεζίου.png (25.23 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές

Παρατήρηση .

Μια κατασκευή του σχήματος ( πριν τη λύση ) γίνεται ( εκτός φακέλου) ως εξής

Θεωρώ τα συνευθειακά σημεία $E,D,M,C\,\,$ με ED = DM = MC = a.

Κατασκευάζω τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε σημείο

του οποίου , $\dfrac{{PC}}{{PE}} = \sqrt 7$ .

: Γωνίες ειδικού τραπεζίου_κατασκευή.png (19.18 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές

Από την τομή του ημικυκλίου του Απολλώνιου, με το ημικύκλιο $\left( {D,a} \right)$ προκύπτει το

. Φέρνω από το

παράλληλη προς την

και τέμνει

το ίδιο ημικύκλιο , ακόμα στο

. Το τραπέζιο , ABCD

, έχει τις προδιαγραφές της εκφώνησης .

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 17, 2024 11:22 am
Γωνίες ειδικού τραπεζίου.png
Δίνεται τραπέζιο με και $\dfrac{AC}{BD}=\sqrt 7.$

Να βρείτε την πλευρά συναρτήσει του καθώς και τις γωνίες του τραπεζίου.

Εστω ότι

Τότε το τετράπλευρο ABDE

είναι ρόμβος και το ABNE

παραλληλόγραμμο.

Τα τρίγωνα ADB,ADE,KIE

είναι ισόπλευρα και $\hat{D}=2.60= 120 ,\hat{A}=60,\hat{B}=60+90=150,\hat{C}=30,$

Στο τρίγωνο BDC

Με νόμο συνημιτόνου

$BC^{2}=x^{2}=4a^{2}+a^{2}-2.a.2a.cos60\Rightarrow x=a\sqrt{3}$

Γωνίες ειδικού τραπεζίου

Γωνίες ειδικού τραπεζίου

Re: Γωνίες ειδικού τραπεζίου

Re: Γωνίες ειδικού τραπεζίου

Re: Γωνίες ειδικού τραπεζίου

Μέλη σε σύνδεση