Ορθοκεντρικό τετράεδρο

[Al.Koutsouridis]

Ορισμός Το τετράεδρο, στο οποίο τα τέσσερα ύψη του διέρχονται από το ίδιο σημείο, ονομάζεται ορθοκεντρικό τετράεδρο και το σημείο τομής των υψών του ορθόκεντρο του τετράεδρου.

Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες:

1. Ένα τετράεδρο είναι ορθοκεντρικό αν και μόνο αν οι κάθετες προς τις έδρες από τα κέντρα βάρους τοων εδρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο.

2. Σε ορθοκεντρικό τετράεδρο και μόνο σε αυτό τα ζεύγη απέναντι ακμών του είναι κάθετα.

3. Σε ορθοκεντρικό τετράεδρο και μόνο σε αυτό οι βάσεις των υψών του είναι ορθόκεντρα των εδρών του.

4. Ένα τετράεδρο είναι ορθοκεντρικό αν και μόνο αν το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών απέναντι ακμών του είναι ίσα μεταξύ τους.

5. Σε ένα ορθοκεντρικό τετράεδρο και μόνο σε αυτό τα γινόμενα των συνημιτόνων των διέδρων γωνιών που αντιστοιχούν σε απέναντι ακμές είναι ίσα μεταξύ τους.

6. Ικανή και αναγκαία συνθήκη να είναι ένα τετράεδρο ορθοκεντρικό, είναι το μήκος των τμημάτων που ενώνουν τα μέσα απέναντι ακμών του (διδιάμεσος), να είναι ίσα μεταξύ τους.

[george visvikis]

Στην ελληνική βιβλιογραφία η ιδιότητα (2) είναι ο ορισμός του ορθοκεντρικού τετραέδρου, ενώ τα τρία ύψη που διέρχονται από το ίδιο σημείο αποτελεί ιδιότητα και χρειάζεται απόδειξη.

Ορθοκεντρικό τετράεδρο.png (15.46 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές

Έστω δύο από τα ύψη του τετραέδρου. Οι ευθείες είναι ορθογώνιες της οπότε τα επίπεδα θα είναι κάθετα στη Επειδή όμως τα επίπεδα αυτά έχουν κοινή την θα ταυτίζονται. Έτσι, τα είναι ομοεπίπεδα. Δεν μπορεί όμως να είναι παράλληλα γιατί είναι κάθετα σε τεμνόμενα επίπεδα, άρα τέμνονται σε ένα σημείο Αποδείξαμε λοιπόν ότι τα ύψη του τετραέδρου τέμνονται ανά δύο κι επειδή δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, θα διέρχονται αναγκαστικά από το ίδιο σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο του τετραέδρου.

[Al.Koutsouridis]

Στην ελληνική βιβλιογραφία η ιδιότητα (2) είναι ο ορισμός του ορθοκεντρικού τετραέδρου, ενώ τα τρία ύψη που διέρχονται από το ίδιο σημείο αποτελεί ιδιότητα και χρειάζεται απόδειξη.

Καλησπέρα κ. Γιώργο καλά κάνατε και το αναφέρατε σε περίπτωση, που θέλουν να το ψάξουν παραπέρα οι μαθητές. Εγώ διάλεξα αυτόν, γιατί αποδίδει καλύτερα τον όρο ορθοκεντρικό. Τα τετράεδρα με αυτήν την ιδίοτητα αναφέρονται και ως ορθογώνια, σε τέτοια περίπτωση, αν τα ονομάσουμε ορθογώνια , ταιριάζει πιο πολύ ο ορισμός της ελληνικής βιβλιογραφίας. Βέβαια το σημαντικό εδώ, είναι η ισοδυναμία των ορισμών και ιδιοτήτων.

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Ανεξάρτητα από ποιον ορισμό επιλέγει κάποιος, ο Αλέξανδρος μας έδωσε αρκετό υλικό για ψάξιμο.
Εγώ τουλάχιστον το εκτιμώ αυτό.

[george visvikis]

Ορισμός Το τετράεδρο, στο οποίο τα τέσσερα ύψη του διέρχονται από το ίδιο σημείο, ονομάζεται ορθοκεντρικό τετράεδρο και το σημείο τομής των υψών του ορθόκεντρο του τετράεδρου.

Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες:

1. Ένα τετράεδρο είναι ορθοκεντρικό αν και μόνο αν οι κάθετες προς τις έδρες από τα κέντρα βάρους τοων εδρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο.

2. Σε ορθοκεντρικό τετράεδρο και μόνο σε αυτό τα ζεύγη απέναντι ακμών του είναι κάθετα.

Έστω το κέντρο βάρους της έδρας του ορθοκεντρικού τετραέδρου και κάθετη

στην έδρα αυτή. Έστω ακόμα το ύψος, το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο του τετραέδρου.

Ορθοκεντρικό τετράεδρο.β.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές

Ως γνωστόν το είναι σημείο του τμήματος και Εξάλλου, οπότε η τέμνει την

σε ένα σημείο έστω Τότε και αφού τα σημεία είναι σταθερά και το θα είναι σταθερό.

Ομοίως το ίδιο θα συμβαίνει και για τις άλλες έδρες.

Αντίστροφα, αν οι κάθετες στις έδρες από τα κέντρα βάρους αυτών διέρχονται από το ίδιο σημείο και η τέμνει το

ύψος στο τότε άρα το είναι σταθερό σημείο του . Ομοίως, το ίδιο συμβαίνει και

για τα άλλα ύψη, οπότε το τετράεδρο είναι ορθοκεντρικό.

Στο σχήμα της πρώτης μου ανάρτησης (#2), αν τα ύψη τέμνονται τότε η θα είναι κάθετη στο επίπεδό τους, άρα ορθογώνια της Ομοίως και οι άλλες απέναντι έδρες θα είναι ορθογώνιες. Το αντίστροφο αποδείχτηκε στην (#2).


Θα επανέλθω και για τα υπόλοιπα, αν δεν έχουν απαντηθεί μέχρι τότε.

[george visvikis]

Ορισμός Το τετράεδρο, στο οποίο τα τέσσερα ύψη του διέρχονται από το ίδιο σημείο, ονομάζεται ορθοκεντρικό τετράεδρο και το σημείο τομής των υψών του ορθόκεντρο του τετράεδρου.

Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες:

3. Σε ορθοκεντρικό τετράεδρο και μόνο σε αυτό οι βάσεις των υψών του είναι ορθόκεντρα των εδρών του.

4. Ένα τετράεδρο είναι ορθοκεντρικό αν και μόνο αν το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών απέναντι ακμών του είναι ίσα μεταξύ τους.

Έστω ύψος του τετραέδρου. H είναι ορθογώνια της και της άρα θα είναι κάθετη στο επίπεδο

οπότε Ομοίως, Επομένως το είναι ορθόκεντρο του

Ακολουθώντας ακριβώς την αντίστροφη διαδικασία, αποδεικνύεται και το αντίστροφο της πρότασης.

Ορθοκεντρικό τετράεδρο.γ.png (16.18 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

Γνωρίζουμε ότι τα τμήματα είναι ορθογώνια αν και μόνο αν:

(κριτήριο ορθογωνιότητας).

Ομοίως για τα ορθογώνια τμήματα είναι και η πρόταση αποδείχτηκε.

[george visvikis]

Ορισμός Το τετράεδρο, στο οποίο τα τέσσερα ύψη του διέρχονται από το ίδιο σημείο, ονομάζεται ορθοκεντρικό τετράεδρο και το σημείο τομής των υψών του ορθόκεντρο του τετράεδρου.

Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες:

6. Ικανή και αναγκαία συνθήκη να είναι ένα τετράεδρο ορθοκεντρικό, είναι το μήκος των τμημάτων που ενώνουν τα μέσα απέναντι ακμών του (διδιάμεσος), να είναι ίσα μεταξύ τους.

Έστω τα μέσα των ακμών τεραέδρου όπως φαίνονται στο σχήμα.

Ορθοκεντρικό τετράεδρο.δ.png (13.17 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές

Τα είναι παραλληλόγραμμα. Τα τμήματα είναι ίσα, αν και μόνο αν τα παραλληλόγραμμα είναι ορθογώνια, δηλαδή αν και μόνο αν το τετράεδρο είναι ορθοκεντρικό.


Εκκρεμεί η (5) .

[Al.Koutsouridis]

Εκκρεμεί η (5) .

Να ευχαριστήσω τον κ.Γιώργο για τις λύσεις του και το χρόνο που διέθεσε. Νομίζω οι ιδιότητες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την λύση άλλων πιο σύνθετων θεμάτων για ορθοκεντρικά τετράεδρα, που έχουν εμφανιστεί στο ή θα εμφανιστούν αργότερα. Για την (5) η αλήθεια είναι έχω διανυσματική λύση υπόψη μου, οπότε μπορεί να είναι εκτός φακέλου. Αν και νομίζω υπάρχει απλή γεωμετρική αντιμετώπιση, θα προσπαθήσω να την βρω και ο ίδιος.

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Eπειδή πίσω από τους ορισμούς, τα θεωρήματα και τις ιδιότητες υπάρχουν άνθρωποι, μια μικρή αναφορά
σε αυτόν που πρωτομελέτησε και δημοσίευσε για το ορθοκεντρικό τετράεδρο.
Πρόκειται για τον Simon Lhuilier. Ο άνθρωπος αυτός προτίμησε να ασχοληθεί με τα μαθηματικά από νεαρή
ηλικία, μολονότι κάποιος συγγενής του πρότεινε να ακολουθήσει μια εκκλησιαστική καριέρα με αντάλλαγμα
μια μεγάλη περιουσία. Τα χρήματα δεν ήταν το παν για αυτόν...
Μια βιογραφία αυτού του ανθρώπου στον παρακάτω σύνδεσμο
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/B ... /Lhuilier/

[Al.Koutsouridis]

Ορισμός Το τετράεδρο, στο οποίο τα τέσσερα ύψη του διέρχονται από το ίδιο σημείο, ονομάζεται ορθοκεντρικό τετράεδρο και το σημείο τομής των υψών του ορθόκεντρο του τετράεδρου.

Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες:

5. Σε ένα ορθοκεντρικό τετράεδρο και μόνο σε αυτό τα γινόμενα των συνημιτόνων των διέδρων γωνιών που αντιστοιχούν σε απέναντι ακμές είναι ίσα μεταξύ τους.

Έστω το δοθέν τετράεδρο και έστω μοναδιαία διανύσματα, κάθετα στις έδρες αντίστοιχα και με φορά εξωτερικά αυτού. Τότε τα διανύσματα είναι συγραμμικό με το διάνυσμα και το διάνυσμα συγραμμικό με το . Άρα



Όμως , και

,

(με συμβολίζουμε τα ημίτονα και συνημίτονα των διέδρων γωνιών στην ακμή )

Οπότε



Εκφράσαμε δηλαδή το συνημίτονο της γωνίας δυο απέναντι ακμών ενός τετράεδρου συναρτήσει των ημιτόνων και συνημιτόνων των δίεδρων γωνιών του.

Στην περίπτωση του ορθοκεντρικού τετράεδρου είναι , οπότε . Ομοίως και για τα άλλα ζεύγη απέναντι ακμών.

Οι παραπάνω πράξεις είναι ισοδυναμίες οπότε ισχύει και το αντίστροφο.