Περί ακτίνων ο λόγος

#1

: Περι ακτίνων ο λόγος.png (13.51 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD

και ένα σημείο

της πλευράς

ώστε το τετράπλευρο EBCD

να είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Αν ο

εγγεγραμμένος κύκλος (I, r)

του τριγώνου ADE

και ο εγγεγραμμένος κύκλος (K, R)

του τετραπλεύρου EBCD

εφάπτονται της

στο ίδιο σημείο, να υπολογίσετε τον λόγο $\dfrac{R}{r}.$

Αφιερωμένη στον $\color{blue} \Phi$ ίλτατο Γιώργο Μήτσιο.

KARKAR · #2

: Λόγος ακτίνων.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

Λόγω της αφιέρωσης ( παρακάμπτοντας τους κανονισμούς

) , μαντεύουμε την απάντηση .

Ας σημειωθεί ότι το

είναι το μέσο του

, το οποίο ισούται με : $2\sqrt{rR}$ , συνεπώς μπορούμε

να βρούμε και τον λόγο των διαστάσεων του ορθογωνίου .

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ! Ενα μεγάλο ευχαριστώ στον Γιώργο για την αφιέρωση!

Ας δούμε λοιπόν μια διαδρομή για τον λόγο των ακτίνων, αλλά και τον λόγο των διαστάσεων που έθεσε ο Θανάσης.

: Περί ακτίνων... G.V.png (164.23 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο KIT

είναι

και

. Με το Πυθαγόρειο παίρνουμε $IT=2\sqrt{Rr}$ .

Έχουμε DZ=DP=DH

ως εφαπτόμενα τμήματα.Όμως DZ=2R-r

ενώ $DH=r+2\sqrt{Rr}$ .

Προκύπτει $r+2\sqrt{Rr}=2R-r \Leftrightarrow 2R-2\sqrt{Rr}-2r=0$ . Διαιρώντας με

και θέτοντας $\sqrt{\dfrac{R}{r}}=x> 0$

παίρνουμε x^2-x-1=0

. Τότε $x=\Phi$ και $\boxed{\dfrac{R}{r}= \Phi ^2}$

Ακόμη $AB=3R-r=\left ( 3\Phi ^2-1 \right )r$ , ενώ $BC=2R=2\Phi ^2r$ . Έτσι $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3\Phi ^2-1 }{2\Phi ^2 }=..= \boxed{\dfrac{\Phi ^2}{2}}$

$\Phi$ ιλικά, Γιώργος.

Περί ακτίνων ο λόγος

Περί ακτίνων ο λόγος

Re: Περί ακτίνων ο λόγος

Re: Περί ακτίνων ο λόγος

Μέλη σε σύνδεση