Ορθόκεντρο

[APOSTOLAKIS]

Δίνεται σκαληνό οξυγώνιο τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
(Μου άρεσε)

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
(Μου άρεσε)

Εχει ξανασυζητηθεί σίγουρα.
Ετσι όπως είναι η εκφώνηση δεν ισχύει.
Αν π.χ η γωνία είναι αμβλεία.
Είναι σωστό αν το είναι μεταξύ των η ισοδύναμα οι γωνίες είναι οξείες.

[S.E.Louridas]

Στη περίπτωση που το ανήκει στο ανοικτό ευθύγραμμο τμήμα , αν υποθέσουμε ότι το δεν είναι ορθόκεντρο οπότε θεωρούμε το ορθόκεντρο , τότε, καταλήγουμε σε άτοπο με βάση διαπραγμάτευσης το σχήμα που ακολουθεί, αρκεί να κατανοήσουμε ότι οι ευθείες περνούν από το ίδιο σημείο (βασιζόμενοι στα πλήρη τετράπλευρα που δημιουργούνται) κτλ .......

qcvn.png (33.62 KiB) Προβλήθηκε 1378 φορές

(*) Δεν θυμάμαι αν έχει συζητηθεί εδώ. Θα περιμένουμε για αυτό ή για διαπραγμάτευση από άλλον λύτη σε άλλο πνεύμα και αν ... δεν γίνει αυτό, θα επανέλθουμε για περισσότερες λεπτομέρειες.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Στη περίπτωση που το ανήκει στο ανοικτό ευθύγραμμο τμήμα , αν υποθέσουμε ότι το δεν είναι ορθόκεντρο οπότε θεωρούμε το ορθόκεντρο , τότε, καταλήγουμε σε άτοπο με βάση διαπραγμάτευσης το σχήμα που ακολουθεί, αρκεί να κατανοήσουμε ότι οι ευθείες περνούν από το ίδιο σημείο (βασιζόμενοι στα πλήρη τετράπλευρα που δημιουργούνται) κτλ ....... qcvn.png


(*) Δεν θυμάμαι αν έχει συζητηθεί εδώ. Θα περιμένουμε για αυτό ή για διαπραγμάτευση από άλλον λύτη σε άλλο πνεύμα και αν ... δεν γίνει αυτό, θα επανέλθουμε για περισσότερες λεπτομέρειες.

Καλησπέρα Σωτήρη από την Χαλκίδα.
Υπάρχει πολύ πιο απλή λύση.
Δεν χρειάζομαι καν σχήμα.
Υποθέτω ότι .
Εστω το συμμετρικό του ως προς το
Τα βρίσκονται σε κύκλο.
Επειδή και το ορθόκεντρο εχει αυτή την ιδιότητα θα πρέπει να ταυτίζεται με το
Ειναι γνωστό ότι μία ευθεία τέμνει ένα κύκλο το πολύ σε δύο σημεία.

Θυμάμαι ότι αυτή την απόδειξη την έχω ξαναδώσει.Και επειδη δεν γράφω αλλού μάλλον έχει ξανασυζητηθεί εδώ.

[S.E.Louridas]

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.

Καλημέρα-καλημέρα και ειδικά στον Άριστο Μαθηματικό αλλά και φίλο Σταύρο.

Πλουραλισμός γαρ, σίγουρα αλληλοσεβασμός και βέβαια όσο το δυνατόν πρωτότυπες λύσεις.
Αυτά είναι τα προσόντα του mathematica μας.


Από τα δεδομένα άμεσα έχουμε την ισότητα των κύκλων , άρα και την συμμετρικότητα τους ως προς την ευθεία της κοινής τους χορδής
Επομένως

pap.png (22.9 KiB) Προβλήθηκε 1306 φορές

(*) Αν μου επιτρέπει ο εισηγητής του θέματος προτείνω το εξής (ας το πούμε ως open problem):

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε οι γωνίες να είναι ίσες ή παραπληρωματικές, τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.

[S.E.Louridas]

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.

Ας δούμε και αυτό και μόνο για λόγους πολυφωνίας και διδακτικής πρότασης.

Έστω το ορθόκεντρο που το θεωρούμε διάφορο του Τότε έχουμε τα δύο προφανή εγγράψιμα τετράπλευρα τα Επομένως με τις να μην είναι παράλληλες.
Τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε πράγμα άτοπο, άρα

qcvn.png (33.62 KiB) Προβλήθηκε 1250 φορές

[S.E.Louridas]

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
(Μου άρεσε)

Θα μπορούσατε να μας πείτε, και αν σας είναι εύκολο, την πηγή της όμορφης αυτής άσκησης;

[george visvikis]

Την έχουμε ξαναδεί εδώ. Δείτε την εκπληκτική απόδειξη του Ορέστη!

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Εκπληκτικά πράγματα.
Οχι μόνο την έχουμε ξαναδεί αλλά εγώ ήμουν ο θεματοδότης.
Η απόδειξη που έδωσα παραπάνω είναι στην ουσία η απόδειξη του Ορέστη.
Μετά τέσσερα χρόνια το μυαλό την επεξεργάστηκε και παρουσιάστηκε διαφορετικά.
Συμπέρασμα δικό μου.Το μυαλό αποθηκεύει τα σημαντικά(απόδειξη Ορέστη)
και όχι τα ασήμαντα(πρόταση ενός θέματος)

[S.E.Louridas]

Εκπληκτικά πράγματα.
Οχι μόνο την έχουμε ξαναδεί αλλά εγώ ήμουν ο θεματοδότης.
Η απόδειξη που έδωσα παραπάνω είναι στην ουσία η απόδειξη του Ορέστη.
Μετά τέσσερα χρόνια το μυαλό την επεξεργάστηκε και παρουσιάστηκε διαφορετικά.
Συμπέρασμα δικό μου.Το μυαλό αποθηκεύει τα σημαντικά(απόδειξη Ορέστη)
και όχι τα ασήμαντα(πρόταση ενός θέματος)

Καλημέρα Σταύρο
Αν δεν πρότεινες το θέμα δεν θα είχαμε την ενασχόληση. Αν και μαζί σου δεν διαφωνώ και ειδικά σε Μαθηματικά θέματα, στην άποψη ότι είναι ασήμαντο η πρόταση ενός θέματος, διαφωνώ πάντα φιλικά βέβαια. Η επιλογή και διατύπωση ενός θέματος είναι πολύ - πολύ σημαντικά πράγματα, ειδικά η διατύπωση του προβλήματος με στόχο να λυθεί. Να συνεχίσεις να προτείνεις γιατί είναι πολύ σημαντικό.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Εκπληκτικά πράγματα.
Οχι μόνο την έχουμε ξαναδεί αλλά εγώ ήμουν ο θεματοδότης.
Η απόδειξη που έδωσα παραπάνω είναι στην ουσία η απόδειξη του Ορέστη.
Μετά τέσσερα χρόνια το μυαλό την επεξεργάστηκε και παρουσιάστηκε διαφορετικά.
Συμπέρασμα δικό μου.Το μυαλό αποθηκεύει τα σημαντικά(απόδειξη Ορέστη)
και όχι τα ασήμαντα(πρόταση ενός θέματος)

Καλημέρα Σταύρο
Αν δεν πρότεινες το θέμα δεν θα είχαμε την ενασχόληση. Αν και μαζί σου δεν διαφωνώ και ειδικά σε Μαθηματικά θέματα, στην άποψη ότι είναι ασήμαντο η πρόταση ενός θέματος, διαφωνώ πάντα φιλικά βέβαια. Η επιλογή και διατύπωση ενός θέματος είναι πολύ - πολύ σημαντικά πράγματα, ειδικά η διατύπωση του προβλήματος με στόχο να λυθεί. Να συνεχίσεις να προτείνεις γιατί είναι πολύ σημαντικό.

Γεια σου φίλε Σωτήρη.
Συμφωνώ απόλυτα μαζί σου.
Ειναι σαφές ότι η διατύπωση και μόνο ενός θέματος πολλές φορές είναι πιο σπουδαίο από την λύση.
Σε κάποια ανοικτά προβλήματα τα οποία είναι ασαφή η σωστή διατύπωση οδηγεί στην λύση.
Εκείνο που είδα είναι ότι το μυαλό μου διαφωνεί και ειδικότερα η μνήμη μου.
Μάλλον δεν το εξουσιάζω.
Μην ανησυχείς. Αν έχω κάτι ενδιαφέρον θα το προτείνω.Και δεν με ενδιαφέρει αν έχω το ''κόστος''
να βάλω και την λύση.
Γιατί πιστεύω ότι έτσι ΟΛΟΙ μαθαίνουμε.

[APOSTOLAKIS]

Συγνώμη για την παράληψη, ήμουν εκτός Αθηνών. Ναι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και την άσκηση την βρήκα σε ένα τετράδιο μου του φροντιστηρίου. Η λύση που είχα γράψει είναι αυτή του κ. Λουρίδα