Τρία εμβαδά και μία γωνία

KARKAR · #1

: Τρία εμβαδά και μία γωνία.png (14.95 KiB) Προβλήθηκε 1104 φορές

Στον κύκλο (O,r)

, τα σημεία N , S , P

είναι ο Βορράς , ο Νότος και η Δύση αντίστοιχα . Το τρίγωνο TPS

είναι ισόπλευρο . Οι προεκτάσεις των SP , PT

, τέμνουν την βόρεια εφαπτομένη στα σημεία K , L

.

α) Υπολογίστε την γωνία $\widehat{NTL}$ .

β) Αν : r=2

, υπολογίστε τα εμβαδά : (TPS ) , (NTL)

και

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 16, 2020 8:58 am
Τρία εμβαδά και μία γωνία.pngΣτον κύκλο , τα σημεία είναι ο Βορράς , ο Νότος και η Δύση αντίστοιχα . Το τρίγωνο

είναι ισόπλευρο . Οι προεκτάσεις των , τέμνουν την βόρεια εφαπτομένη στα σημεία .

α) Υπολογίστε την γωνία $\widehat{NTL}$ .

β) Αν : , υπολογίστε τα εμβαδά : και .

α) $\displaystyle N\widehat SK = 45^\circ,$ άρα το NKS

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε $KS=KN\sqrt 2.$

Αλλά, $\displaystyle K{N^2} = KP \cdot KS,$ άρα το

είναι μέσο του KS,

δηλαδή $\displaystyle K\widehat TS = 90^\circ$ και το

KNTS

είναι εγγράψιμο. Επομένως, $\displaystyle N\widehat TK = 45^\circ \Rightarrow$ $\boxed{\omega = 105^\circ }$

: 3 Εμβαδά και 1 γωνία.png (20.95 KiB) Προβλήθηκε 1089 φορές

β) $\displaystyle KN = 4,PS = 2\sqrt 2 ,N\widehat LT = O\widehat PL = 15^\circ = T\widehat KN \Rightarrow TL = TK = \frac{{KS\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 6$

Με νόμο συνημιτόνου στο KTL

βρίσκω $\displaystyle KL = 6 + 2\sqrt 3 \Leftrightarrow NL = 2(\sqrt 3 + 1)$

$\displaystyle (TPS) = \frac{{{{(2\sqrt 2 )}^2}\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{(TPS) = 2\sqrt 3}$ , $\displaystyle (NTL) = \frac{1}{2}2\sqrt 6 \cdot 2(\sqrt 3 + 1)\sin 15^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{(NTL) = 2\sqrt 3}$

$\displaystyle (KNTP) = (KPL) - (NTL) = \frac{1}{2}2\sqrt 2 \cdot (6 + 2\sqrt 3 )\sin 45^\circ - 2\sqrt 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{(KNTP)=6}$

#3

Οι γωνίες $\widehat {NCP}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {PCS}$ είναι τα μισά των ορθών αντιστοίχων επικέντρων άρα από $45^\circ$ κάθε μια . Προφανώς η κάθε μια από τις κόκκινες γωνίες είναι $15^\circ$ /

Έτσι : $\widehat {NSC} = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ$ , άρα και η $\widehat {LNC}$ ( υπό χορδής κι εφαπτομένης ) είναι $60^\circ$ .

Συνεπώς $\widehat {{\omega _{}}} = 180^\circ - 15^\circ - 60^\circ = 105^\circ$ .

Για τα εμβαδά: Προφανές ότι , $PN = PT = PS = TS = r\sqrt 2$

$\boxed{\left( {TPS} \right) = \frac{{{{\left( {r\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{2}}$ Επίσης : $X = \left( {PNT} \right) = \dfrac{1}{2}PN \cdot PT\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}{r^2}$

: Τρία εμβαδά και μια γωνία.png (42.58 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές

Δηλαδή με το μισό τετράγωνο πλευράς

, οπότε

$\left( {KPN} \right) = 2X = {r^2} \Rightarrow \boxed{\left( {KPTN} \right) = 3X = \dfrac{{3{r^2}}}{2}}$

Για εμβαδόν $\left( {NTL} \right)$ .

Φέρνω την εφαπτομένη στο

, που είναι παράλληλη στην

, και τέμνει την

στο

.

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου PNCS

είναι ισοδύναμο με το εμβαδόν του τριγώνου

TJS

που είναι ίσο με το τρίγωνο $NLP\,\,\left( {\Gamma - \Pi - \Gamma } \right)$ και άρα $\boxed{\left( {NTL} \right) = \left( {TPS} \right) = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{2}}$

Τρία εμβαδά και μία γωνία

Τρία εμβαδά και μία γωνία

Re: Τρία εμβαδά και μία γωνία

Re: Τρία εμβαδά και μία γωνία

Μέλη σε σύνδεση