Ιερότητα τριγώνου
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Ιερότητα τριγώνου
Καλό μεσημέρι σε όλους.
ενώ είναι το μέσον της . Ο κύκλος με διάμετρο τέμνει τις στα και αντιστοίχως.
Να εξεταστεί η ιερότητα του τριγώνου (Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών του). Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Στο εσωτερικό του τριγώνου υπάρχει σημείο ώστε να είναι ενώ είναι το μέσον της . Ο κύκλος με διάμετρο τέμνει τις στα και αντιστοίχως.
Να εξεταστεί η ιερότητα του τριγώνου (Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών του). Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ιερότητα τριγώνου
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 20, 2020 12:48 pmΚαλό μεσημέρι σε όλους.
Ιερότητα τριγώνου.PNG
Στο εσωτερικό του τριγώνου υπάρχει σημείο ώστε να είναι
ενώ είναι το μέσον της . Ο κύκλος με διάμετρο τέμνει τις στα και αντιστοίχως.
Να εξεταστεί η ιερότητα του τριγώνου (Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών του). Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Ίσως κάτι δεν βλέπω.....
Λήμμα 1 :
Έστω τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο με αντιδιαμετρικά σημεία.Έστω στις ευθείες ώστε τότε αν το μέσο του θα είναι
Απόδειξη : Έστω οι προβολές των στην .Είναι .
Άρα αν η προβολή του στην θα είναι μέσο του οπότε το ανήκει στην μεσοκάθετο του και το λήμμα αποδείχθηκε.
Λήμμα 2 :
Στο παραπάνω σχήμα θα ισχύει
Απόδειξη :
Είναι απλό να δούμε ότι αρκεί να ισχύει .
Έστω ότι οι τέμουν ξανά τον κύκλο στα αντίστοιχα.Έστω ακόμη ότι .
Από Pascal για τις έπεται ότι συνευθειακά και μάλιστα οπότε το ανήκει στην μεσοκάθετο του δηλαδή και το λημμα αποδείχθηκε.
Πάμε στην άσκηση:
Εύκολα βλέπουμε πως και έτσι από το λήμμα 1 το θα είναι ισοσκελές.
Από το λήμμα 2 θα είναι από όπου έπεται ότι
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ιερότητα τριγώνου
Καλημέρα Γιώργο και Πρόδρομε.Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 20, 2020 12:48 pmΚαλό μεσημέρι σε όλους.
Στο εσωτερικό του τριγώνου υπάρχει σημείο ώστε να είναι
ενώ είναι το μέσον της . Ο κύκλος με διάμετρο τέμνει τις στα και αντιστοίχως.
Να εξεταστεί η ιερότητα του τριγώνου (Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών του). Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Η λύση μου χωρίζεται σε 2 βήματα :
Βήμα 1 : Ισχύει, .
Έστω σημείο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο. Τότε, είναι προφανές ότι η περνά από το μέσο της που είναι το κέντρο του κύκλου διαμέτρου .
Οπότε, είναι , άρα το είναι εγγράψιμο.
Αν τώρα , είναι , άρα .
Επίσης, έχουμε , συνεπώς , και αφού , και αφού , θα προκύψει .
Βήμα 2 : Ισχύει, .
Έστω, τα συμμετρικά του ως προς τα αντίστοιχα. Τότε, είναι οπότε και προφανώς τα είναι ομοιόθετα.
Τώρα, αφού , το είναι παραλληλόγραμμο, οπότε και .
Άρα τα τρίγωνα και είναι ίσα από Π-Π-Π, οπότε .
Άρα, .
Αφού όμως τα είναι ομοιόθετα, έχω .
Από τα Βήματα 1 και 2 τέλος, έχουμε ότι και .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13312
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ιερότητα τριγώνου
Μίνο θα μπορούσες να γράψεις αναλυτικά τη λύση σου;
Ορέστης.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Ιερότητα τριγώνου
είναι ομοκυκλικά αλλά δεν βγαίνει.....
Τα και εύκολα προκύπτουν ότι είναι ομοκυκλικά , επίσης εχώ βρεί αλλά δύο τρίγωνα με γωνίες
αλλά για το δεν βρήκα ακόμα κάτι. Τι δεν βλέπω ;
Καλό Καλοκαίρι!
Re: Ιερότητα τριγώνου
Η πρόταση κλειδί είναι ότι "Ισογώνια σημεία έχουν τον ίδιο ποδικό κύκλο".Το Ισογώνιο όμως του ως προς το βρίσκεται στη μεσοκάθετο της οπότε ο ποδικός κύκλος περιέχει το .
Σημ.Προφανώς τα μέτρα των γωνιών που δίνονται δεν παίζουν ιδιαίτερο ρόλο..
Σημ.Προφανώς τα μέτρα των γωνιών που δίνονται δεν παίζουν ιδιαίτερο ρόλο..
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ιερότητα τριγώνου
Ας δούμε στοιχειωδώς όσα αναφέρει ο Μίνοςangvl έγραψε: ↑Δευ Φεβ 24, 2020 10:37 pmιερό τρίγωνο.png
Καλησπέρα! Μετά τις εντυπωσιακές λύσεις που έδωσαν ο Πρόδρομος και ο Ορέστης, προσπάθησα με την υπόδειξη του min να δείξω ότι τα σημεία
είναι ομοκυκλικά αλλά δεν βγαίνει.....
Τα και εύκολα προκύπτουν ότι είναι ομοκυκλικά , επίσης εχώ βρεί αλλά δύο τρίγωνα με γωνίες
αλλά για το δεν βρήκα ακόμα κάτι. Τι δεν βλέπω ;
Πάρε (στο σχήμα σου) και το μέσο της . Τότε (πολύ εύκολα από τα μέσα και το σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο.. ) βρίσκεις ότι
Γωνιακά είναι ιδιαίτερα τώρα εύκολο να δείξεις ότι οπότε το επίμαχο τετράπλευρο που αναφέρει ο Μίνος είναι εγγράψιμο
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13312
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ιερότητα τριγώνου
Άλλη μία απόδειξη για την εγγραψιμότητα του Φέρνω και γράφω τον περίκυκλο
του που επανατέμνει την στο και την στο Αρκεί να δείξω ότι Με τη βοήθεια των εγγράψιμων αποδεικνύουμε ότι η είναι διχοτόμος της άρα και η της και στη συνέχεια ότι
Με κυνήγι γωνιών αποδεικνύουμε ότι τα τρίγωνα είναι όμοια, καθώς επίσης και τα άρα:
του που επανατέμνει την στο και την στο Αρκεί να δείξω ότι Με τη βοήθεια των εγγράψιμων αποδεικνύουμε ότι η είναι διχοτόμος της άρα και η της και στη συνέχεια ότι
Με κυνήγι γωνιών αποδεικνύουμε ότι τα τρίγωνα είναι όμοια, καθώς επίσης και τα άρα:
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Ιερότητα τριγώνου
Καλημέρα! Σας ευχαριστώ όλους για τη συμβολή σας κι' ένα επιπλέον εύγε στα νιάτα!
Με την ευκαιρία να δώσω κι΄εγώ τα συγχαρητήρια σε όλους τους διακριθέντες του διαγωνισμού Αρχιμήδης 2020 και ιδιαίτερα
στους Ορέστη Λιγνό , Πρόδρομο Φωτιάδη,Διονύση Αδαμόπουλο , Κων/νο Κωνσταντινίδη με ευχές για ανώτερες διακρίσεις!
Υποβάλλω στη συνέχεια και τη λύση που είχα στο νου , κατά τη δημοσίευση του παρόντος. (Σχετική βεβαίως η υπόδειξη πιο πριν του Στάθη) Η είναι διάμετρος άρα και . ΟΙ και είναι διάμεσοι στα ορθ. τρίγωνα και , έτσι τα και είναι του τύπου .Τα τρίγωνα είναι ίσα (κριτήριο ΠΓΠ) άρα .
Θα δείξουμε ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με τα . Πράγματι έχουμε
ενώ , και οπότε .
Τότε .
Έθεσα , κατά τη σύνθεση του θέματος , γωνίες ώστε το ισοσκελές να είναι του τύπου
με λόγο σκέλους προς τη βάση τον γνωστό χρυσό αριθμό . Ένα τέτοιο τρίγωνο εθεωρείτο (και) στην Αρχαία Ελλάδα από τα ιερά τρίγωνα.
Φιλικά, Γιώργος.
Με την ευκαιρία να δώσω κι΄εγώ τα συγχαρητήρια σε όλους τους διακριθέντες του διαγωνισμού Αρχιμήδης 2020 και ιδιαίτερα
στους Ορέστη Λιγνό , Πρόδρομο Φωτιάδη,Διονύση Αδαμόπουλο , Κων/νο Κωνσταντινίδη με ευχές για ανώτερες διακρίσεις!
Υποβάλλω στη συνέχεια και τη λύση που είχα στο νου , κατά τη δημοσίευση του παρόντος. (Σχετική βεβαίως η υπόδειξη πιο πριν του Στάθη) Η είναι διάμετρος άρα και . ΟΙ και είναι διάμεσοι στα ορθ. τρίγωνα και , έτσι τα και είναι του τύπου .Τα τρίγωνα είναι ίσα (κριτήριο ΠΓΠ) άρα .
Θα δείξουμε ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με τα . Πράγματι έχουμε
ενώ , και οπότε .
Τότε .
Έθεσα , κατά τη σύνθεση του θέματος , γωνίες ώστε το ισοσκελές να είναι του τύπου
με λόγο σκέλους προς τη βάση τον γνωστό χρυσό αριθμό . Ένα τέτοιο τρίγωνο εθεωρείτο (και) στην Αρχαία Ελλάδα από τα ιερά τρίγωνα.
Φιλικά, Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 13 επισκέπτες