Σχέση πλευρών τριγώνου

#1

: Σχέση πλευρών τριγώνου..png (12 KiB) Προβλήθηκε 1213 φορές

είναι το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος αντίστοιχα τριγώνου ABC.

Αν

είναι το μέσο

του HM,

να βρείτε μία σχέση μεταξύ των πλευρών του ABC

και να δείξετε ότι η γωνία $B\widehat AC$ είναι οξεία.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2019 5:37 pm

Σχέση πλευρών τριγώνου..png
είναι το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος αντίστοιχα τριγώνου Αν είναι το μέσο

του να βρείτε μία σχέση μεταξύ των πλευρών του και να δείξετε ότι η γωνία $B\widehat AC$ είναι οξεία.

Γεια σου Γιώργο.

Έστω

ο Νότιος Πόλος του κύκλου (A,B,C)

.

Είναι γνωστό ότι τα A,D,K

είναι συνευθειακά.

Επίσης, αφού HD=DM

, τα τρίγωνα $\vartriangle ADH, \vartriangle DMK$ είναι ίσα.

Οπότε, AD=DK

, και αφού $BD \cdot DC=AD \cdot DK \Rightarrow AD^2=BD \cdot DC$ .

Επίσης, $BD \cdot DC=\dfrac{ac}{b+c} \cdot \dfrac{ab}{b+c}=\dfrac{a^2bc}{(b+c)^2}$ (από Θ. Διχοτόμου) και $AD^2=bc \cdot \dfrac{(b+c)^2-a^2}{(b+c)^2}$ (γνωστό - μία απόδειξη γίνεται με το Θ. Stewart)

Άρα, $BD \cdot DC=AD^2 \Rightarrow a^2=(b+c)^2-a^2 \Rightarrow \boxed{b+c=a\sqrt{2}}$ .

Ακόμη, από Ν. Συνημιτόνων $a^2=b^2+c^2-2bc \cos \angle A \Rightarrow \cos \angle A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ , οπότε αν δείξω ότι b^2+c^2 >a^2

τελείωσα, αφού τότε θα είχα $\cos \angle A >0$ , οπότε η $\angle A$ θα ήταν οξεία. Τελικά, από C-S :

$b^2+c^2 \geqslant \dfrac{(b+c)^2}{2}=a^2$ .

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

ksofsa · #3

Άλλη μια λύση για το 1ο ερώτημα:

Θεωρώ το σημείο K όπως το όρισε ο Ορέστης.

Τότε, τα τρίγωνα ABD, AKC

όμοια, αφού < ABD=< AKC, < BAD=< KAC

.

Οπότε,

$\frac{AD}{CA}=\frac{AB}{AK}\Leftrightarrow AD\cdot AK=AB\cdot CA\Leftrightarrow 2AD^2=AB\cdot CA$

Tα τρίγωνα ABC, BKC

έχουν το ίδο εμβαδόν ως τρίγωνα με ίδια βάση και αντίστοιχα ίσα ύψη.

Αρα $(ABC)=(BKC)\Leftrightarrow AB\cdot ACsinA=BK\cdot KCsinK\Leftrightarrow \Leftrightarrow AB\cdot AC=BK^2$

Ακόμη, στο εγγράψιμο τετράπλευρο ABKC

από θ. Πτολεμαίου έχω

$AB\cdot CK+CA\cdot BK=AK\cdot BC\Leftrightarrow BK(AB+CA)=2AD\cdot BC\Leftrightarrow \sqrt{AB\cdot AC}(AB+CA)=2\sqrt{\frac{AB\cdot CA}{2}}\cdot BC\Leftrightarrow b+c=a\sqrt{2}$ .

#4

Αλλιώς με 2ο θεώρημα διαμέσων. Έστω b>c.

: Σχέση πλευρών τριγώνου..png (12 KiB) Προβλήθηκε 1084 φορές

${b^2} - {c^2} = 2a(HM) \Leftrightarrow (b - c)(b + c) = 4a(DM) = 4a\left( {\dfrac{a}{2} - \dfrac{{ac}}{{b + c}}} \right) = 2{a^2}\dfrac{{b - c}}{{b + c}} \Leftrightarrow$

${(b + c)^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{b+c=a\sqrt 2}$

Σχέση πλευρών τριγώνου

Σχέση πλευρών τριγώνου

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση