Εμβαδόν τετραπλεύρου

#1

: Εμβαδόν τετραπλεύρου_απο Γείτονα.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

Στο πιο πάνω σχήμα να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου : ABCD

Αν και έιναι εύκολα να γίνει με το μάτι "μαντεψιά" στο σχήμα( απολύτου ακριβείας), ζητείται πλήρης τεκμηρίωση.

KARKAR · #2

Μάλλον λάθος δρόμο πήρα ...

: δύσκολο εμβαδόν.png (15.52 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

Με νόμο συνημιτόνων στα SAB,SPB

παίρνω :

$cosS=\dfrac{a^2-8}{a^2}$ και $cosS=\dfrac{a^2+5a-16}{a^2+5a+4}$ .

Εξισώνοντας βρίσκω a=4

. Συνεπώς $\hat{S}=60^0$ .

Και πλέον εύκολα : $(ABCD)=6\sqrt{3}$ .

Συμβολή στη τελική λύση είχαν οι Γιώργος Ρίζος , Μιχάλης Νάννος .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2017 9:37 am
δύσκολο εμβαδόν.pngΜάλλον λάθος δρόμο πήρα ...

Χρόνια πολλά . Εμένα πάντως μου άρεσε η λύση σου .

#4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2017 4:38 am
Εμβαδόν τετραπλεύρου_απο Γείτονα.png

Στο πιο πάνω σχήμα να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου :

Αν και έιναι εύκολα να γίνει με το μάτι "μαντεψιά" στο σχήμα( απολύτου ακριβείας), ζητείται πλήρης τεκμηρίωση.

Χρόνια Πολλά σε όλους!

: Εμβαδόν τετραπλεύρου.D.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 821 φορές

Νόμος συνημιτόνων στο ADB:

$\displaystyle 16 = B{D^2} + 16 - 8BD\cos \varphi \Leftrightarrow BD = 8\cos \varphi$

Νόμος συνημιτόνων στο DBC:

$\displaystyle 49 = B{D^2} + 1 - 2BD\cos ({180^0} - 3\varphi ) \Leftrightarrow 4{\cos ^4}\varphi + {\cos ^2}\varphi - 3 = 0$

κι επειδή η γωνία $\varphi$ είναι οξεία θα είναι $\boxed{\varphi=30^0},$ οπότε $\displaystyle BD = 4\sqrt 3 ,D\widehat BC = {90^0}.$

$\displaystyle (ABCD) = (ADB) + (BDC) = \frac{{16\sin {{120}^0}}}{2} + \frac{{4\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABCD)=6\sqrt 3}$

Χρησιμοποίησα τον τύπο $\boxed{\cos 3\varphi = 4{\cos ^3}\varphi - 3\cos \varphi }$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2017 9:37 am
δύσκολο εμβαδόν.pngΜάλλον λάθος δρόμο πήρα ...

Χρόνια πολλά σε όλους. Βαδίζοντας στο δρόμο που χάραξε ο Θανάσης.

: 26-12-2017 Γεωμετρία.jpg (24.02 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

Από Ν. Συνημιτόνων στο AOB

είναι $\displaystyle {4^2} = 2{x^2} - 2{x^2}\sigma \upsilon \nu \varphi \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{{x^2} - 8}}{{{x^2}}}$

και στο DOC

$\displaystyle {7^2} = {\left( {4 + x} \right)^2} + {\left( {1 + x} \right)^2} - 2\left( {4 + x} \right)\left( {1 + x} \right)\sigma \upsilon \nu \varphi \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{{{\left( {4 + x} \right)}^2} + {{\left( {1 + x} \right)}^2} - 49}}{{2\left( {4 + x} \right)\left( {1 + x} \right)}}$

Οπότε $\displaystyle \frac{{{x^2} + 5x - 16}}{{{x^2} + 5x + 4}} = \frac{{{x^2} - 8}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow 3{x^2} - 10x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 4$ .

Άρα OAB

ισόπλευρο και $\displaystyle \widehat O = 60^\circ$ .

Οπότε $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \left( {OCD} \right) - \left( {OAB} \right) = \frac{{40\sqrt 3 }}{4} - \frac{{16\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3$

Εμβαδόν τετραπλεύρου

Εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση