Κατασκευή τριγώνου από συντρέχεια

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Κατασκευή τριγώνου από συντρέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τετ Απρ 19, 2017 8:51 pm

Να κατασκευστεί τρίγωνο ABC γνωρίζοντας τα μήκη AB=c, AC=b και ότι η διχοτόμος AD, η διάμεσος BM και το ύψος CE συντρέχουν


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9362
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή τριγώνου από συντρέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 20, 2017 1:23 pm

sakis1963 έγραψε:Να κατασκευστεί τρίγωνο ABC γνωρίζοντας τα μήκη AB=c, AC=b και ότι η διχοτόμος AD, η διάμεσος BM και το ύψος CE συντρέχουν
Γεια σου Σάκη!

Στην ουσία, αναζητούμε την πλευρά a
Συντρέχεια.png
Συντρέχεια.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές
Από Ceva: \displaystyle{\frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{{MC}}{{MA}} \cdot \frac{{EA}}{{EB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{c}{b} = \frac{{EB}}{{EA}} \Leftrightarrow \frac{c}{{b + c}} = \frac{{EB}}{c} \Leftrightarrow } \boxed{EB = \frac{{{c^2}}}{{b + c}}} και \boxed{EA = \frac{{bc}}{{b + c}}}

Κριτήριο καθετότητας: \displaystyle{{b^2} - {a^2} = E{A^2} - E{B^2}}, απ' όπου παίρνουμε \boxed{a = \frac{{\sqrt {{b^4} + 2{b^3}c + {c^4}} }}{{b + c}}}

Παρατήρηση: Αν b=c, το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Κατασκευή τριγώνου από συντρέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Πέμ Απρ 20, 2017 3:06 pm

Γειά σου Γιώργο!

Αφού αποδείξετε οτι "αν στο ζητούμενο τρίγωνο προεκτείνουμε την AC κατά τμήμα CZ=AB=c τότε \hat{ABZ}=90^o" χρησιμοποιήστε το στην γεωμετρική κατασκευή του.

Δείτε και αυτό


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9362
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή τριγώνου από συντρέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 20, 2017 4:45 pm

Μία άλλη γεωμετρική κατασκευή.

Από την πρώτη μου ανάρτηση έχει αποδειχθεί ότι \displaystyle{\frac{EB}{EA}=\frac{c}{b}}. Εξάλλου, EM=\dfrac{b}{2} (διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου)

Κατασκευή
Σε ευθύγραμμο τμήμα AB=c, θεωρώ σημείο E ώστε \displaystyle{\frac{EB}{EA}=\frac{c}{b}}. Στη συνέχεια κατασκευάζω το ισοσκελές τρίγωνο

MAE (MA=ME=\dfrac{b}{2}). Αν C είναι το συμμετρικό του A ως προς M, τότε το ABC είναι το ζητούμενο τρίγωνο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης