Μήκος πλευράς

BRAHMA · #1

: μήκος πλευράς.png (4.47 KiB) Προβλήθηκε 956 φορές

Ισοσκελούς τριγώνου $BAD\,$ , δίδονται $BA = BD = 6\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,AD = 3$ .
Στην προέκταση του

προς το

, έστω σημείο

για το οποίο DC = 2

.
Να υπολογιστεί το μήκος x = AC

.

#2

: 26-02-2013 Γεωμετρία c.jpg (12.29 KiB) Προβλήθηκε 947 φορές

Στο

είναι $\displaystyle{{x^2} = {3^2} + {2^2} - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi = 13 - 12\sigma \upsilon \nu \varphi }$

Στο ABD

είναι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left( {180^\circ - \varphi } \right) = \frac{{1,5}}{6} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = - \frac{1}{4}}$

Οπότε $\displaystyle{{x^2} = 13 + 12 \cdot \frac{1}{4} = 16 \Rightarrow x = 4}$

#3

BRAHMA έγραψε: Ισοσκελούς τριγώνου $BAD\,$ , δίδονται $BA = BD = 6\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,AD = 3$ .Στην προέκταση του προς το , έστω σημείο για το οποίο .Να υπολογιστεί το μήκος .

: 3.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 929 φορές

Έστω σημείο στην προέκταση της ημιευθείας ώστε: . Τότε από $\displaystyle\frac{{BA}}{{AE}} = \displaystyle\frac{6}{2} = \displaystyle\frac{{BD}}{{DC}} \Rightarrow AD\parallel EC\mathop \Rightarrow \limits^{AE = DC = 2} AECD$ ισοσκελές τραπέζιο

άρα ίσες διαγώνιες, δηλαδή $\boxed{AC = DE}:\left( 1 \right)$ . Με $AD\parallel EC \Rightarrow \vartriangle BDA \sim \vartriangle BCE \Rightarrow$ $\displaystyle\frac{{AD}}{{EC}} = \displaystyle\frac{{AB}}{{BE}} = \displaystyle\frac{6}{8} = \displaystyle\frac{3}{4}\mathop \Rightarrow \limits^{AD = 3} \boxed{EC = 4}:\left( 2 \right)$ .

Για τα τρίγωνα $\vartriangle BCE,\vartriangle ECD$ με κοινή γωνία $\angle C$ ισχύει: $\displaystyle\frac{{BC}}{{CE}} = \displaystyle\frac{8}{4} = \displaystyle\frac{4}{2} = \displaystyle\frac{{EC}}{{BD}}$ οπότε είναι όμοια και με $\vartriangle BCE$ ισοσκελές $\left( {BC = BE = 8} \right) \Rightarrow \vartriangle ECD$

ισοσκελές οπότε $DE = EC = 4\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{AC = x = 4}$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Στάθης

Ιστοσελίδα · #4

: Μήκος-πλευράς.png (13.34 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές

Αν

τότε

διχοτόμος της $B\widehat AD$ . Προεκτείνω την

κατά ίσο τμήμα

, το

είναι παραλληλόγραμμο, $\triangle EAM\mathop = \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } \triangle BAM \Rightarrow ME = 4 = x$ .

Ιστοσελίδα · #5

Καλημέρα.

: Μήκος-πλευράς_2.jpg (21.49 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

Προεκτείνω την

κατά ίσο τμήμα

. Αν

το βαρύκεντρο του ισοσκελούς $\triangle DBE$ , τότε KE = 2KA = 4

. Είναι $C\widehat DA = E\widehat AB$ σαν παραπληρωματικές ίσων γωνιών και $\triangle DAC\mathop = \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } \triangle AEK \Rightarrow x = KE = 4$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Καλημέρα στην παρέα του

.
Αν και αυτές τις μέρες η διάθεσή μου δεν είναι και η καλύτερη , λόγω φόρτου εργασίας και υποχρεώσεων , μόλις είδα τις όμορφες λύσεις σας στο θέμα -λύσεις που καταλαβαίνουν μαθητές που τελειώνουν την ύλη της Α' Λυκείου - σκέφτηκα μια ''ετοιματζίδικη'' λύση βασιζόμενη στο τόσο παραγνωρισμένο θεώρημα Stewart , ένα θεώρημα με απλούστατη απόδειξη και πολλές ωραίες εφαρμογές το οποίο δυστυχώς έχει περάσει εδώ και δεκαετίες στην κατηγορία των άλυτων -και ουδέποτε τιθεμένων - ασκήσεων .
Τέλος πάντων , δεν είναι ώρα για γκρίνιες....

$AB^{2}\cdot CD+AC^{2}\cdot BD=BC\cdot \left(AD^{2}+BD\cdot DC \right)$

και αν γίνει αντικατάσταση προκύπτει

$6^{2}\cdot 2+6x^{2}=8\left(3^{2}+6\cdot 2 \right)$

και από εδώ εύκολα βρίσκεται ότι

$x^{2}=16\Leftrightarrow x=4$

BRAHMA · #7

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Καλημέρα.
Μήκος-πλευράς_2.jpg
Προεκτείνω την κατά ίσο τμήμα . Αν το βαρύκεντρο του ισοσκελούς $\triangle DBE$ , τότε . Είναι $C\widehat DA = E\widehat AB$ σαν παραπληρωματικές ίσων γωνιών και $\triangle DAC\mathop = \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } \triangle AEK \Rightarrow x = KE = 4$ .

KARKAR · #8

: Μήκος πλευράς.png (10.23 KiB) Προβλήθηκε 834 φορές

Με την άδεια του θεματοδότη , με τα ίδια δεδομένα , ας διατυπώσουμε και διαφορετικά το ζητούμενο :

Να δειχθεί ότι το

, εφάπτεται του περικύκλου του τριγώνου $\displaystyle BAD$ .

Υπάρχει λύση διαφορετική από τις προηγηθείσες ;

p_gianno · #9

.
Η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τργ ABC

στο σημείο

Από θεώρημα τεμνομένων χορδών έχουμε DE=4

$\triangle ABD \sim DEC (\angle B_1=E_1 , D_1=D_2) \rightarrow DEC$ ισοσκελές $\rightarrow CE=DE=4$

$\triangle BDE \sim ADC$ με λόγο ομοιότητος

συνεπώς

Από θεώρημα Πτολεμαίου έχουμε

$x \cdot 2x+6 \cdot 4=(6+2)(3+4) \rightarrow 2x^2=32 \rightarrow x=4$
.

Μήκος πλευράς

Μήκος πλευράς

Re: Μήκος πλευράς

Re: Μήκος πλευράς

Re: Μήκος πλευράς

Re: Μήκος πλευράς

Re: Μήκος πλευράς

Re: Μήκος πλευράς

Re: Μήκος πλευράς

Re: Μήκος πλευράς

Μέλη σε σύνδεση