Παρεξηγήσιμο ημίτονο

KARKAR · #1

: Παρεξηγήσιμο ημίτονο.png (16.38 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Σε σημείο

της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου , υψώνουμε το κάθετο τμήμα

. Να βρεθεί

εκείνη η θέση του

, για την οποία η απόστασή του από το

, ισούται με την απόστασή του

από την χορδή

και να υπολογισθεί το $\sin\theta$ , κατά την στιγμή της επίτευξης της ισότητας .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 27, 2024 1:46 pm
Παρεξηγήσιμο ημίτονο.pngΣε σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , υψώνουμε το κάθετο τμήμα . Να βρεθεί

εκείνη η θέση του , για την οποία η απόστασή του από το , ισούται με την απόστασή του

από την χορδή και να υπολογισθεί το $\sin\theta$ , κατά την στιγμή της επίτευξης της ισότητας .

Τα γκρίζα τρίγωνα είναι ορθογώνια κι έχουν από μια κάθετη πλευρά ίσες και τις απέναντι γωνίες ίσες άρα είναι ίσα .

: παρεξηγίσιμο ημίτονο_Κατασκευή.png (21.92 KiB) Προβλήθηκε 644 φορές

Από το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle PAB$ έχω : $P{B^2} = BS \cdot BA \Rightarrow {\left( {2r - x} \right)^2} = 2rx \Rightarrow x = r\left( {3 - \sqrt 5 } \right)$ και άρα :

$\boxed{\sin \theta = \frac{{TS}}{{AS}} = \frac{x}{{2r - x}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi - 1}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 27, 2024 1:46 pm
Παρεξηγήσιμο ημίτονο.pngΣε σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , υψώνουμε το κάθετο τμήμα . Να βρεθεί

εκείνη η θέση του , για την οποία η απόστασή του από το , ισούται με την απόστασή του

από την χορδή και να υπολογισθεί το $\sin\theta$ , κατά την στιγμή της επίτευξης της ισότητας .

Θέτω

και

οπότε

: Παρεξηγήσιμο ημίτονο.png (15.21 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές

$\displaystyle ST||PB \Leftrightarrow \frac{x}{{2r}} = \frac{y}{{PB}} \Leftrightarrow \frac{x}{{kx}} = \frac{{(k - 1)x}}{{\sqrt {2ry} }} \Leftrightarrow \frac{1}{k} = \frac{{(k - 1)x}}{{x\sqrt {k(k - 1)} }} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{k - 1}}{k} \Leftrightarrow {k^2} - k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \phi,$ άρα το

διαιρεί τη διάμετρο

σε μέσο και άκρο λόγο με μεγαλύτερο τμήμα το AS.

$\boxed{\sin \theta = \frac{y}{x} = \phi - 1 = \frac{1}{\phi }}$

Παρεξηγήσιμο ημίτονο

Παρεξηγήσιμο ημίτονο

Re: Παρεξηγήσιμο ημίτονο

Re: Παρεξηγήσιμο ημίτονο

Μέλη σε σύνδεση