Μετρική σε τρίγωνο 45ο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA230=FB2563.png (34.97 KiB) Προβλήθηκε 1261 φορές

Εστω τρίγωνο $ABC, \hat{A}=45^o$ με AB=c<AC=b

Αν

η απόσταση του μέσου

του μείζονος τόξου $\overset {\frown} {BC}$ από την

,

δείξτε ότι: $\dfrac{2d}{b-c}=\sqrt2+1$

Υπάρχουν αρκετές λύσεις. Για να δούμε...

STOPJOHN · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 28, 2019 9:16 pm
GEOMETRIA230=FB2563.png
Εστω τρίγωνο $ABC, \hat{A}=45^o$ με

Αν η απόσταση του μέσου του μείζονος τόξου $\overset {\frown} {BC}$ από την ,

δείξτε ότι: $\dfrac{2d}{b-c}=\sqrt2+1$

Υπάρχουν αρκετές λύσεις. Για να δούμε...

Χρονια πολλά Σάκη και σε όλους ΧΡΙΣΤΟΣ ΑΝΕΣΤΗ

Για τις γωνίες είναι $\hat{A}=\hat{BMC}=45^{0},\hat{MBC}=\hat{MCB}=\hat{\omega },\hat{\omega }=67,5^{0}$

$d^{2}=AM^{2}-AP^{2},(1)$

Στο τρίγωνο

$MBC,a^{2}=2MB^{2}-MB^{2}.\sqrt{2}\Leftrightarrow MB^{2}=\dfrac{b^{2}+c^{2}-\sqrt{2}bc} {2-\sqrt{2}},$ ,

είναι $a^{2}=b^{2}+c^{2}-\sqrt{2}bc$

Απο το θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο

$AMCB,a.MA=MC(b-c)\Leftrightarrow AM^{2}=\dfrac{(b-c)^{2}}{2-\sqrt{2}},(2),$

$AP=AM.cos\omega \Leftrightarrow AP=AM.cos22,5^{0}\Leftrightarrow AP=\dfrac{b-c}{2},(3)$

$(1),(2),(3)\Rightarrow d^{2}=\dfrac{(b-c)^{2}}{2-\sqrt{2}}-\dfrac{(b-c)^{2}}{2}\Leftrightarrow d^{2}=\dfrac{(b-c)^{2}}{4}.(3+2\sqrt{2})$

που είναι η αποδεικτέα σχέση

Γιάννης

#3

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 28, 2019 9:16 pm
GEOMETRIA230=FB2563.png
Εστω τρίγωνο $ABC, \hat{A}=45^o$ με

Αν η απόσταση του μέσου του μείζονος τόξου $\overset {\frown} {BC}$ από την ,

δείξτε ότι: $\dfrac{2d}{b-c}=\sqrt2+1$

Υπάρχουν αρκετές λύσεις. Για να δούμε...

Χρόνια Πολλά!

Έστω MB=MC=x.

από νόμο συνημιτόνων στο MBC

είναι $\displaystyle x = \frac{{a\sqrt 2 \sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} = a\sqrt 2 \sin 67,5^\circ$

: Μετρική 45ο.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 1153 φορές

Πτολεμαίος στο ABCM,

$\displaystyle a \cdot AM + cx = bx \Leftrightarrow a \cdot \frac{d}{{\sin 67,5^\circ }} = (b - c)a\sqrt 2 \sin 67,5^\circ \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{4d}{{b - c}} = \sqrt 2 (\sqrt 2 + 2) \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{2d}}{{b - c}} = \sqrt 2 + 1}$

sakis1963 · #4

Χρησιμοποιώντας την Ταυτότητα σε τρίγωνο ως λήμμα, έχουμε:

b'=c'=d

$a/a'=tan(45/2)=2(\sqrt2-1)$

$\dfrac{b}{b'}=\dfrac{a}{a'}+\dfrac{c}{c'} \Rightarrow 2(\sqrt2-1)=\dfrac{b}{d}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{b-c}{d}$

και τελικά $\dfrac{2d}{b-c}=2(\sqrt2-1)$

sakis1963 · #5

Το παρόν πρόβλημα, συμπεριέλαβε στην συλλογή του Charme

, ο διάσημος Γάλλος γεωμέτρης Jean-Luis Ayme

όπου έδωσε μια ωραιότατη λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα της Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη

Στην ίδια συλλογή, συμπεριέλαβε και το πρόβλημα Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους

Ο σύνδεσμος για την συλλογή, εδώ: Charme Geomtrique 1
.

: GEOMETRIA230=FB2563Ayme.jpg (86.49 KiB) Προβλήθηκε 1115 φορές

Μετρική σε τρίγωνο 45ο

Μετρική σε τρίγωνο 45ο

Re: Μετρική σε τρίγωνο 45ο

Re: Μετρική σε τρίγωνο 45ο

Re: Μετρική σε τρίγωνο 45ο

Re: Μετρική σε τρίγωνο 45ο

Μέλη σε σύνδεση