ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

[ΝΙΚΟΣ]

b] ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 60.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 60.
Ένα άρθρο από τη σειρά μου: «Στις επάλξεις της Ελληνικής Ευκλειδείου Γεωμετρίας»

«Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην».

ΣΤΙΣ ΕΠΑΛΞΕΙΣ ΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
ΑΝΑΔΡΟΜΕΣ–ΑΝΑΖΗΤΗΣΕΙΣ–ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ
Του Νίκου Κυριαζή*

«Έν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις, το από της την ορθήν γωνίαν υποτειννούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».
Με τον τρόπο αυτό αναφέρεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη.
Γίνεται αντιληπτό ότι στο άρθρο αυτό θα αναφερθούμε στο Πυθαγόρειο θεώρημα, λόγω της μεγάλης του σπουδαιότητας.
Πυθαγόρειο θεώρημα λοιπόν είναι η περίφημη ιδιότητα που έχουν μόνο όλα τα ορθογώνια τρίγωνα, σύμφωνα με την οποία:

«Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσάς του, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των δύο καθέτων πλευρών του».
Αυτή είναι μια σύγχρονη διατύπωση του ίδιου Θεωρήματος.
Από πολλές ιστορικές μαρτυρίες προκύπτει ότι το θεώρημα αυτό, στην γενική του μορφή με το αντίστροφό του και την απόδειξή του, είναι προσωπικό επίτευγμα του Πυθαγόρα, ενώ το συνοδεύουν και πολλοί σχετικοί θρύλοι.Όπως για παράδειγμα, λέγεταιότι, όταν ο Πυθαγόρας το ανακάλυψε, θυσίασε εκατό βόδια, εξού και Θεώρημα εκατόμβης ονομάστηκε.
Ακόμη ιστορικά είναι βεβαιωμένο ότι μερικές ειδικές περιπτώσεις του Θεωρήματος αυτού ήταν γνωστές (χωρίς όμως απόδείξεις) και εφαρμόζονταν εμπειρικά, από τους Ανατολικούς λαούς και πριν από τον Πυθαγόρα.
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα, αν και αληθεύει μόνο στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, είναι πολύ σημαντικό ένεκα των πολλών εφαρμογών του στην Γεωμετρία και επειδή έγινε αφετηρία για πολλές και σπουδαίες ανακαλύψεις στα Μαθηματικά.
Η ανακάλυψή του ήταν κατάκτηση για την Γεωμετρία και τον πολιτισμό.
Πρόκειται για το γλαφυρότερο και μουσικότερο Θεώρημα της Γεωμετρίας και γενικότερα των Μαθηματικών. Για τον λόγο αυτό και της σπουδαιότητάς του από τους αρχαίους χρόνους μέχρι και σήμερα, έχουν ασχοληθεί πολλοί επώνυμοι και σχεδόν όλοι οι διάσημοι Μαθηματικοί, οι οποίοι προσπάθησαν να δώσουν την δική τους απόδειξη στο Θεώρημα αυτό, όπως σε προηγούμενα άρθρα μας αναφέραμε. Έτσι, προέκυψε ένας πολύ μεγάλος αριθμός αποδείξεών του, τους οποίους έχει καταχωρήσει σε βιβλίο του ο Αμερικανός Μαθηματικός E. S. Loomis. Στο βιβλίο αυτό αναφέρονται 374 διαφορετικοί τρόποι απόδειξής του, που είναι κατά πολύ μεγαλύτερος αριθμός, από τον αριθμό αποδείξεων που έχουν δοθεί σε κάθε άλλο Θεώρημα.
Εμείς έχουμε επινοήσει μερικούς νέους; τρόπους απόδειξης του Θεωρήματος αυτού, τους οποίους έχουμε συμπεριλάβει στο βιβλίο μας [3].
Η μεγάλη απασχόληση τόσων πολλών Μαθηματικών με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, έγινε αφορμή για την ανακάλυψη πολλών τομέων στα Μαθηματικά.
Έτσι, έγινε αιτία για την ανακάλυψη των ασύμμετρων αριθμών, της εννοίας του εμβαδού και των ισοδιαχωρίσιμων σχημάτων, των «Πυθαγορείων Τριγώνων», δηλαδή των ορθογωνίων τριγώνων που τα μήκη των πλευρών τους είναι ακέραιοι αριθμοί και από τα οποία δημιουργήθηκε η μη γραμμική Διοφαντική Ανάλυση, το τελευταίο Θεώρημα του Fermat, το οποίο έγινε αφορμή να αναπτυχθούν οι καινούργιοι κλάδοι των Μαθηματικών Αλγεβρική Γεωμετρία, θεωρία των Ιδεωδών, κ.τ.λ. Ακόμη μεγάλη είναι η προσφορά του Θεωρήματος αυτού, στην ανάπτυξη της Αναλυτικής Γεωμετρίας, του Διανυσματικού Λογισμού, κ.α.
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα, ένεκα της σπουδαιότητάς του, είναι γνωστό με την ονομασία αυτή σ’ όλο τον κόσμο και για 2,5 χιλιάδες χρόνια, δοξάζοντας έτσι την χώρα μας. Για τον λόγο αυτό και πολύ ορθά, η Ελληνική επιτροπή διεκδίκησης των Ολυμπιακών αγώνων από την χώρα μας, στη σχετική ταινία που χρησιμοποίησε, με τα αξιοθέατα της Πατρίδας μας και τα έργα της Πολιτιστικής μας κληρονομιάς, Παρθενώνα, κ.α., είχε συμπεριλάβει και το σχήμα του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

Το σημερινό μας νέο Θεώρημα, αναφέρεται σε μια ιδιότητα ζεύγους ορθολογικών τριγώνων. Η απόδειξή του είναι δύσκολη και γι’ αυτό απευθύνεται σε δυνατούς Γεωμέτρες. Όμως εμείς εδώ δε ζητάμε αποδείξεις του:

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΑΣ

«Κάθε ζεύγος ορθολογικών τριγώνων, των οποίων (τριγώνων) τα δύο ορθοπολικά σημεία συμπίπτουν, είναι και ομολογικά».

Σχόλια για το Θεώρημά μας.
α. Σχετική ορολογία, αναφέρεται στο βιβλίο [4]
β. Η απόδειξη και εφαρμογές του Θεωρήματος, δίνονται στην παράγραφο 2α(8) του βιβλίου [3].
γ. Το παραπάνω νέο Θεώρημα είναι πολύ σημαντικό, καθώς βρίσκει σπουδαίες εφαρμογές.
δ. Από όσα μέχρι τώρα γνωρίζουμε, το θεώρημα αυτό είναι καινούργιο και αποτελεί επινόηση του γράφοντος (η αναπαραγωγή ή αναδημοσίευσή του δεν επιτρέπεται, αν δεν αναφέρεται η πατρότητά του).

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[1]. Βασικές έννοιες της Γεωμετρίας: των Δ. Κοντογιάννη και Βαγ. Τζιαχρήστου.
[2]. Η Γεωμετρία στην Αρχαία Ελλάδα: του Δ. Τσιμπουράκη.
[3]. Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας: του Νίκου Κυριαζή.*
[4]. Γεωμετρία: του Γ. Τσίντσιφα.

*[Ο κ. Ν. Κυριαζής είναι Ταξ/χος ε.α., γεννήθηκε στη Θουρία Καλαμάτας, κατοικεί και δημιουργεί στην Καλαμαριά, Τραπεζούντος 9, τηλ. 2310-413.539. Τελευταία (το 2002), όλα τα έργα του στην Ευκλείδεια Γεωμετρία βραβεύθηκαν από την Ακαδημία Αθηνών].

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΡΘΡΟ 61.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 61, με τίτλο : "ΚΙΝΗΤΡΑ ΓΙΑ ΝΑ ΑΓΑΠΗΘΟΥΝ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ..."

Σημειώνω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια κλικ Άρθρα Γεωμετρίας Τόμος ΙΙ, σελ. βιβλ. 9 ηλεκτ , τίτλος : ΚΙΝΗΤΡΑ ΓΙΑ ΝΑ ΑΓΑΠΗΘΟΥΝ ΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ...".

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1hNnSxJ ... 6C0Ow/view
και στη συνέχεια κλικ Σελ. βιβλ.9 ηλεκτ 18, τίτλος : ΚΙΝΗΤΡΑ ΓΙΑ ΝΑ ΑΓΑΠΗΘΟΥΝ ΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ...".

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε αναρτήσεις που δε τηρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Αναζητάς; Επινοείς; Είσαι ζωντανός.

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΡΘΡΟ 62.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 62, με τίτλο : "Δέκα Έξι Νέες Προτάσεις...."

Σημειώνω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια κλικ Άρθρα Γεωμετρίας Τόμος ΙΙΙ, σελ. βιβλ. 245, ηλεκτ 253, τίτλος : "Δέκα Έξι Νέες Προτάσεις...."

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1AtpEE_ ... KjIPW/view
και στη συνέχεια κλικ Σελ. βιβλ.245, ηλεκτ 253, τίτλος : "Δέκα Έξι Νέες Προτάσεις...." .

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε αναρτήσεις που δε τηρούν την προϋπόθεση αυτή.

Βιβλιογραφία
[1]. Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας.
[2]. Εγγεγραμμένα-Περιγεγραμμένα Σχήματα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Ου περί χρημάτων τον αγώνα ποιούμεθα, αλλά περί αρετής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΡΘΡΟ 63.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 63, με τίτλο : " Προτεινόμενες Νέες Προτάσεις-Προβλήματα."

Σημειώνω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια κλικ Άρθρα Γεωμετρίας Τόμος ΙΙΙ, σελ. βιβλ. 5, ηλεκτ 13, τίτλος : "Προτεινόμενες Νέες Προτάσεις-Προβλήματα."
Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1AtpEE_ ... KjIPW/view
και στη συνέχεια κλικ Σελ. βιβλ.5, ηλεκτ 13, τίτλος: "Προτεινόμενες Νέες Προτάσεις-Προβλήματα.

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε αναρτήσεις που δε τηρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Ο Pascal έλεγε ότι, «Η Γεωμετρία είναι σχεδόν η μόνη από τις επιστήμες που δίνει αλάνθαστα συμπεράσματα, γιατί αυτή μόνο ακολουθεί μια πραγματική μέθοδο, ενώ όλες οι άλλες βρίσκονται σε ένα είδος σύγχυσης...., Διάλεξα την επιστήμη αυτή, γιατί μόνο αυτή γνωρίζει τους πραγματικούς νόμους της λογικής».

[ΝΙΚΟΣ]

[/size] ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 64.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 64.
Ένα άρθρο από τη σειρά μου: «Στις επάλξεις της Ελληνικής Ευκλειδείου Γεωμετρίας»

«Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην».

ΣΤΙΣ ΕΠΑΛΞΕΙΣ ΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
Υπενθυμίσεις
Του Νίκου Κυριαζή*

«Φύσις κρύπτεσθαι φιλεί»
Ηράκλειτος

Η φύση κρύβει ζηλότυπα τα μεγάλα μυστικά της από τον άνθρωπο και έτσι τον ωθεί στην δημιουργική έρευνα.
Για την ανακάλυψη των μυστικών αυτών ασχολούνται, όπως είναι γνωστό, οι ερευνητές.
Η επιστημονική έρευνα ξεκίνησε από την Αρχαία Ελλάδα και συγκεκριμένα από την Ιωνία. Η έρευνα εκείνων των ερευνητών ήταν καθαρά θεωρητική και ανιδιοτελής.
Ένας μεγάλος και ωραίος τομέας που απασχόλησε τους ερευνητές της εποχής εκείνης, αλλά και όλων των εποχών, ήταν και είναι η έρευνα στα Μαθηματικά και ιδιαίτερα στην Γεωμετρία, που έχει σκοπό όχι τον πλουτισμό αλλά μόνο την πνευματική καλλιέργεια. Οι Πυθαγόρειοι μάλιστα ορκίζονταν ότι «δεν θα χρησιμοποιήσουν την Γεωμετρία για πλουτισμό».
Τα κίνητρα που ωθούν κάθε γνήσιο ερευνητή στον τομέα αυτό, είναι συνήθως απλά, όπως η αγάπη στη Γεωμετρία, η προσωπική ικανοποίηση και ψυχαγωγία, η πνευματική ανησυχία, το αίσθημα του ανικανοποίητου, η ανάδειξη, η αναγνώριση, κ.α.
Για να επιτύχει ο ερευνητής της Γεωμετρίας στο θεϊκό δρόμο της έρευνας, πρέπει να διαθέτει πολλά χαρίσματα (προσόντα), όπως πλούσιες ψυχικές αρετές, να τον ευχαριστεί, να διαθέτει ενθουσιασμό, υπομονή και επιμονή στο στόχο που έχει βάλει, απεριόριστη αγάπη και πίστη για το αντικείμενο αυτό, να είναι πεπειραμένος και γνώστης τούτου, να μη «φείδεται χρόνου και κόπου», να διαθέτει φαντασία, διεισδυτικό, συνθετικό και ενωτικό πνεύμα, κ.α. Ακόμη, σύμφωνα με τον Α. Πούσκιν «και η έμπνευση είναι το ίδιο απαραίτητη στη Γεωμετρία, όπως και στην ποίηση».
Οι καρποί, μιας επιτυχημένης έρευνας στη Γεωμετρία, είναι πολύ γλυκείς, όπως λεπτομερώς περιγράψαμε σε προηγούμενο άρθρο μας, όμως όχι οικονομικά επωφελείς. Τούτο συμβαίνει γιατί κάθε σωστός ερευνητής της Γεωμετρίας δεν είναι έμπορος των ανακαλύψεών του, καθώς δεν τα θεωρεί «εμπορεύσιμα υλικά», δεν υποκύπτει στον πειρασμό του οικονομικού οφέλους και δεν αιχμαλωτίζεται από τα υλικά αγαθά.
Ο Αρχιμήδης θεωρείται ο κατεξοχήν ερευνητής, το περίλαμπρο πρότυπο ερευνητή και ο αρχιερέας της έρευνας στη Γεωμετρία.
Με την έρευνα στη Γεωμετρία ασχολήθηκαν όλοι οι μεγάλοι Μαθηματικοί του κόσμου, όλων των εποχών και έχτισαν το σημερινό οικοδόμημα της Γεωμετρίας. Οι ανακαλύψεις τους είναι μεγάλες, ενώ πολλές Γεωμετρικές αλήθειες (θεωρήματα) που ανακάλυψαν φέρουν και το όνομά τους, «τιμής ένεκεν», δυστυχώς όμως όχι πάντοτε τα ονόματα εκείνων που πραγματικά τις ανακάλυψαν.
Ακόμη, στην έρευνα της Γεωμετρίας επιδόθηκαν και μεγάλες προσωπικότητες, πολλοί γίγαντες του πνεύματος, κ.α. που δεν ήταν Μαθηματικοί και οι οποίοι μας άφησαν πολλές ανακαλύψεις (θεωρήματα, νέες αποδείξεις θεωρημάτων κ.τ.λ.), όπως ο Αϊνστάιν που λέγεται ότι μας έδωσε μια κομψή απόδειξη με εμβαδά του θεωρήματος Μενέλαου, ο Ιταλός διανοητής και καλλιτέχνης Λεονάρντο Ντα Βίντσι ο οποίος μας άφησε μια ευφυή απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, ο Μέγας Ναπολέων που μας έδωσε δύο σημαντικά θεωρήματα τα οποία φέρουν το όνομά του, (αυτά αναφέρονται στο λεγόμενο τρίγωνο του Μεγ. Ναπολέοντα και το σημείο του Μεγ. Ναπολέοντα), κ.α.π.
Η έρευνα στην Γεωμετρία είναι δύσκολη γιατί δεν υπάρχει ορισμένη και αυστηρή μέθοδος, όπως υπάρχει για την απόδειξη μιας γνωστής Γεωμετρικής αλήθειας. Ο προεξάρχων της έρευνας στη Γεωμετρία Αρχιμήδης, χωρίς επιφύλαξη παίρνει σαφή θέση και μας λέει ότι η έρευνα μιας αλήθειας στη Γεωμετρία μπορεί να γίνει με οποιοδήποτε τρόπο και μέσο, αρκεί να μας οδηγήσει στην ανακάλυψή της. Ο ίδιος για την ογκομέτρηση χρησιμοποιούσε υγρά (νερό).
Και στην δική μας εποχή υπάρχουν πολλοί και δυνατοί ερευνητές στην Γεωμετρία, ενώ γίνεται και ευρεία χρήση Η/Υ. Όμως σήμερα η ανακάλυψη μιας καινούργιας και σημαντικής Γεωμετρικής αλήθειας (θεωρήματος), είναι πολύ δύσκολη, επειδή ο ερευνητής πρέπει να διαθέτει τα παραπάνω προσόντα, επειδή υπάρχουν πολλές δυσκολίες που είδαμε παραπάνω και κυρίως επειδή έχουν ασχοληθεί με τον τομέα αυτό τα μεγαλύτερα μυαλά όλων των εποχών για χιλιάδες χρόνια τώρα, όπως παραπάνω αναφέρθηκε, που έχουν ανιχνεύσει, όλους τους τομείς και όλες τις πτυχές της Γεωμετρίας με κάθε λεπτομέρεια και σε βάθος, οπότε λογικά οι αλήθειες, που δεν ανακαλύφθηκαν από εκείνους, είναι πάρα πολύ καλά κρυμμένες.


Βιβλιογραφία
[1]. Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας, του Νίκου Κυριαζή. *
[2]. Η Γεωμετρία στην Αρχαία Ελλάδα, του Δημ. Τσιμπουράκη.

*[Ο κ. Ν. Κυριαζής είναι Ταξ/χος ε.α., γεννήθηκε στη Θουρία Καλαμάτας, κατοικεί και δημιουργεί στην Καλαμαριά, Τραπεζούντος 9, τηλ. 2310-413.539. Τελευταία (το 2002), όλα τα έργα του στην Ευκλείδεια Γεωμετρία βραβεύθηκαν από την Ακαδημία Αθηνών].

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΡΘΡΟ 65.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 65, με τίτλο : "Στις Ασκήσεις Λέμε ΝΑΙ."

Σημειώνω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια κλικ Άρθρα Γεωμετρίας Τόμος ΙΙΙ, σελ. βιβλ. 94, ηλεκτ 102 , τίτλος : "Στις Ασκήσεις Λέμε ΝΑΙ."
Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1AtpEE_ ... KjIPW/view
και στη συνέχεια κλικ Σελ. βιβλ.94, ηλεκτ182 , τίτλος: "Στις Ασκήσεις Λέμε ΝΑΙ.."

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε αναρτήσεις που δε τηρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
«ΕΡΕΥΝΑ =Απόλαυση + Ανακαλύψεις + Έντονες Συγκινήσεις Δημιουργία Πρόοδος Πολιτισμός.
Έντονες Συγκινήσεις Συνεπάγεται Δημιουργία ΅Συνεπάγεται Πρόοδος Συνεπάγεται Πολιτισμός
[/b]

[ΝΙΚΟΣ]

[/size] ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 66.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 66.
Ένα άρθρο από τη σειρά μου: «Στις επάλξεις της Ελληνικής Ευκλειδείου Γεωμετρίας»

«Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην».

ΣΤΙΣ ΕΠΑΛΞΕΙΣ ΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
Υπενθυμίσεις
Του Νίκου Κυριαζή*

Ο μεγάλος πυλώνας στον οποίο έχει στηριχθεί το τεράστιο σημερινό οικοδόμημα της Γεωμετρίας και γενικότερα των Μαθηματικών, είναι αναμφισβήτητα οι επαγγελματίες Μαθηματικοί, οι οποίοι λίγο – πολύ μας είναι γνωστοί.
Ένας δεύτερος όμως πυλώνας πολύ σημαντικός στον οποίο έχει στηριχθεί το παραπάνω οικοδόμημα, είναι οι στρατιές των διασήμων και άσημων εργατών των μαθηματικών, που στο επάγγελμά τους δεν είναι Μαθηματικοί αλλά «Ερασιτέχνες Μαθηματικοί».
Σε προηγούμενα άρθρα μας έχουμε αναφερθεί σε πολλούς «ερασιτέχνες» Γεωμέτρες – Μαθηματικούς της αρχαίας εποχής και στο έργο τους στα Μαθηματικά, όπως:
α. Στον μεγάλο φιλόσοφο Πλάτωνα.
β. Στον μεγάλο αστρονόμο Μενέλαο.
γ. Στον διάσημο γεωγράφο και αστρονόμο Κλαύδιο Πτολεμαίο, κ.α.π.
Μετά την αναγέννηση εμφανίσθηκαν, εργάσθηκαν και διέπρεψαν στα Μαθηματικά, πολλοί «ερασιτέχνες» Μαθηματικοί, όπως :
α. O J. Poncelet, ο οποίος ήταν στρατιωτικός (αξιωματικός του Γαλλικού στρατού του Μεγάλου Ναπολέοντα). Ο Poncelet αιχμαλωτίστηκε στον πόλεμο με την Ρωσία, όπου εκεί επινόησε την Προβολική Γεωμετρία, κάτω από βαριές κλιματολογικές, ψυχολογικές κ.α. συνθήκες και χωρίς κανένα βοήθημα ή βιβλίο. Μετά την επάνοδό του στη Γαλλία έγραψε μια ογκώδη πραγματεία Προβολικής Γεωμετρίας.
β. Ο Νικόλαος Νικολαΐδης, από την Αρκαδία (αξιωματικός του Μηχανικού της Σχολής Ευελπίδων) υπήρξε εξαίρετη Μαθηματική ιδιοφυΐα, όπως αναφέρει ο διάσημος μαθηματικός Blaschke. O Ν. Νικολαΐδης έκανε τεράστιο ερευνητικό έργο στη διαφορική Γεωμετρία ως και στην Ανάλυση, τις δε εργασίες του θα εκδώσει ο επισημότερος Γαλλικός εκδοτικός οίκος GAUTHIER – VILARS.
γ. Ο Pierre Fermat, ο οποίος ήταν νομικός της Γαλλικής Βουλής (ερασιτέχνης Μαθηματικός) για τον οποίο ο διάσημος σύγχρονός του μαθηματικός B. Pascal, σε επιστολή του του έγραψε: «Είστε ο μεγαλύτερος γεωμετρητής (μαθηματικός) της Ευρώπης».
Ο P. Fermat, θεωρείται αναμφίβολα ο «βαθύτερος» Μαθηματικός του αιώνα του. Διέπρεψε με τις εργασίες του στις πιθανότητες, στην αναλυτική γεωμετρία και στην σύγχρονη θεωρία των αριθμών, ενώ του αποδίδονται και οι πρώτες ιδέες του διαφορικού λογισμού.
Περίφημο είναι και το λεγόμενο «τελευταίο θεώρημα του Fermat», ή κατ’ άλλους «Εικασία του Fermat», για την απόδειξη του οποίου ασχολήθηκαν για 350 χρόνια τα μεγαλύτερα μυαλά του κόσμου και του οποίου η απόδειξη δόθηκε πρόσφατα.
Ας σημειωθεί ότι ο Fermat, το θεώρημά του αυτό, το εμπνεύστηκε διαβάζοντας μια μετάφραση του βιβλίου των «Αριθμητικών» του Διόφαντου, στο περιθώριο του οποίου σημείωσε το παραπάνω θεώρημα και για το οποίο έγραφε «έχω μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη του θεωρήματος αυτού, αλλά δεν την χωράει το περιθώριο του βιβλίου…»
δ. Ο Janos Bolyai, ήταν Ούγγρος στρατιωτικός (αξιωματικός του Ουγγρικού στρατού) ο οποίος ανακάλυψε μια «μη Ευκλείδεια Γεωμετρία» την λεγόμενη Υπερβολική Γεωμετρία. Την ίδια εποχή, ανεξάρτητα με τον Bolyai, ανακάλυπτε την ίδια Γεωμετρία και ο Ρώσος Ν. Lobachevski, του οποίου το όνομα φέρει σήμερα.
Ακόμη στα Μαθηματικά προσέφεραν πολλές προσωπικότητες, όχι μαθηματικοί, στους οποίους και στο έργο τους στα Μαθηματικά, έχουμε αναφερθεί σε προηγούμενο άρθρο μας, όπως ο 20ος Πρόεδρος των Η.Π.Α. I. A. Garfield, ο Αϊνστάιν, ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι, ο Μέγας Ναπολέων, κ.α.π.
Τέλος θα ήταν παράλειψη αν δεν αναφερόμαστε και στις χιλιάδες εκείνων των ασήμων ερασιτεχνών που έβαλαν ένα λιθαράκι στο τεράστιο σημερινό οικοδόμημα των Μαθηματικών και των οποίων τα ονόματα έχουν μείνει άγνωστα. Ένα από τα ονόματα αυτά, που όμως έτυχε να καταγραφεί στην ιστορία των Μαθηματικών, είναι του μαθητού λυκείου Jeff Levenhagen από τις Η.Π.Α., ο οποίος επινόησε μια νέα ευφυή απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος.
Η προσπάθεια μας αυτή αποτελεί μια ελάχιστη προσφορά τιμής και αναγνώρισης της μεγάλης ανιδιοτελούς πνευματικής συνεισφοράς των «ερασιτεχνών» εργατών των Μαθηματικών, στην ανθρωπότητα. Ακόμη με αυτή θέλουμε να τονίσουμε, ότι για να αναδειχθεί κάποιος στα Μαθηματικά δεν είναι ανάγκη να είναι Μαθηματικός, αλλά να διαθέτει όλα, ή έστω μερικά από τα χαρίσματα (προσόντα), που σε προηγούμενο άρθρο μας λεπτομερώς αναφέραμε.
Βιβλιογραφία
[1]. Νέα στοιχεία Γεωμετρίας, του Νίκου Κυριαζή*.
[2]. Περιοδικό Ευκλείδης Β΄, της ΕΜΕ.
[3]. Περιοδικό Ευκλείδης Γ΄, της ΕΜΕ.

*[Ο κ. Ν. Κυριαζής είναι Ταξ/χος ε.α., γεννήθηκε στη Θουρία Καλαμάτας, κατοικεί και δημιουργεί στην Καλαμαριά, Τραπεζούντος 9, τηλ. 2310-413.539. Τελευταία (το 2002), όλα τα έργα του στην Ευκλείδεια Γεωμετρία βραβεύθηκαν από την Ακαδημία Αθηνών].

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΡΘΡΟ 67.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 67, με τίτλο : "ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΚΑΙ ΝΈΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ"
Σημειώνω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια κλικ Άρθρα Γεωμετρίας Τόμος ΙΙΙ, σελ. βιβλ. 10, ηλεκτ 18, τίτλος : " ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΚΑΙ ΝΈΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ"
Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1AtpEE_ ... KjIPW/view
και στη συνέχεια κλικ Σελ. βιβλ.10, ηλεκτ 18, τίτλος: "" ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΚΑΙ ΝΈΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ"

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε αναρτήσεις που δε τηρούν την προϋπόθεση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
«ΕΡΕΥΝΑ =Απόλαυση + Ανακαλύψεις + Έντονες Συγκινήσεις Δημιουργία Πρόοδος Πολιτισμός.
Έντονες Συγκινήσεις Συνεπάγεται Δημιουργία ΅Συνεπάγεται Πρόοδος Συνεπάγεται Πολιτισμός
]

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΡΘΡΟ 68.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 68.
Ένα άρθρο από τη σειρά μου: «Στις επάλξεις της Ελληνικής Ευκλειδείου Γεωμετρίας»

«Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην».

ΣΤΙΣ ΕΠΑΛΞΕΙΣ ΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
Υπενθυμίσεις
Του Νίκου Κυριαζή*

_Οι αρχαίοι Έλληνες τα επινόησαν. Οι μαθηματικοί προσπάθησαν. Τα προβλήματα έμειναν άλυτα.
Πρόκειται προφανώς για τα τρία μεγάλα προβλήματα της Αρχαιότητας.
Είναι γνωστό, ότι ένας σημαντικός τομέας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι και οι Γεωμετρικές Κατασκευές. Για την Ευκλείδεια Γεωμετρία, Γεωμετρικές Κατασκευές αποτελούν τα προβλήματα εκείνα που λύνονται μόνο με κανόνα και διαβήτη και τούτο επειδή είναι τα πιο απλά και τέλεια όργανα, ενώ είναι και πολύ εύκολα στη χρήση τους. Ακόμη, επειδή αυτά είναι τα πρώτα όργανα που χρησιμοποιήθηκαν, συνδέθηκαν με τις φιλοσοφικές ιδέες και τις θρησκευτικές δοξασίες των Αρχαίων.
Με την έννοια αυτή, υπάρχουν προβλήματα στη Γεωμετρία, που παραμένουν άλυτα μέχρι και σήμερα, μεταξύ των οποίων και τα τρία μεγάλα προβλήματα της Αρχαιότητας.
Τα παραπάνω τρία περίφημα προβλήματα, με τα οποία ασχολήθηκαν για πολλούς αιώνες μέχρι και σήμερα πολλοί μελετητές είναι:

-Το Δήλιο Πρόβλημα ή το Πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου. Δηλαδή, η κατασκευή κύβου διπλάσιου όγκου, του όγκου δοσμένου κύβου.

-Η τριχοτομή τυχούσης οξείας γωνίας. Δηλαδή, η κατασκευή του τρίτου του μέτρου τυχαίας οξείας γωνίας.

-Ο τετραγωνισμός του κύκλου. Δηλαδή, η κατασκευή τετραγώνου που να έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν δοσμένου κύκλου.

Επικρατέστερη αιτία, που προέκυψε το Δήλιο πρόβλημα, αναφέρεται ο χρησμός που έδωσε ο Απόλλωνας, σύμφωνα με τον οποίο έπρεπε να διπλασιασθεί ο βωμός του, που ήταν κύβος και βρισκόταν στο Ιερό της Δήλου. Έτσι, για τον λόγο αυτό, τούτο πέρασε στην ιστορία με την παραπάνω ονομασία.

Το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας, είναι φυσικό να προέκυψε, μετά από την διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε τρία ίσα μέρη, οπότε επιχείρησαν να κάνουν το ίδιο και σε γωνία, με ανεπιτυχή αποτελέσματα.

Ο τετραγωνισμός του κύκλου πρέπει να προέκυψε, στην προσπάθεια να υπολογισθεί το εμβαδό του κύκλου, μια και επέλεξαν για μονάδα μετρήσεων των εμβαδών, το τετράγωνο με πλευρά την μονάδα μήκους.

Οι προσπάθειες των ερευνητών να επιτύχουν Γεωμετρικές λύσεις, στα παραπάνω τρία ένδοξα προβλήματα, απέβησαν άκαρπες. Όμως, παραβιάζοντες τον παραπάνω περιορισμό, προέκυψαν, κυρίως από τους Αρχαίους Έλληνες, διάφορες εξαιρετικές άλλες λύσεις, προφανώς όχι Γεωμετρικές, με την παραπάνω αναφερόμενη έννοια. Οι λύσεις αυτές βασίζονταν σε νέες καμπύλες, διάφορες του κύκλου, τις οποίες ανακάλυψαν και σε νέα όργανα με τα οποία τις χάρασσαν.

---Έτσι έχουμε τις παρακάτω τέτοιες λύσεις:
-Για το Δήλιο πρόβλημα, έχουμε τις λύσεις,
του Αρχύτα που είναι η πρώτη θαυμαστή θεωρητική λύση, του Ιπποκράτη του Χίου που είναι θεωρητική και χρησιμοποίησε δύο συνεχείς μέσους ανάλογους, του Πλάτωνα που χρησιμοποίησε κινητική Γεωμετρία και κατάλληλο όργανο, του Αρχιμήδη που χρησιμοποίησε την περίφημη καμπύλη της ≪έλικας≫ του, του Ερατοσθένη που είναι απλή και ευφυής λύση, ενώ χρησιμοποιεί όργανο, που ονόμασε ≪Μεσολάβο≫, του Απολλώνιου που είναι κομψή και χρησιμοποιεί ≪κωνικές τομές≫, του *Μέναιχμου ο οποίος χρησιμοποιεί την ≪Μεναίχμιο τριάδα καμπύλών≫, του Νικομήδη που βασίζεται σε μια νέα καμπύλη την ≪Κογχοειδή≫ και σε κατάλληλο όργανο, του Διοκλή που χρησιμοποιεί την ≪Κισσοειδή≫ του, του Ηρωνα που την υλοποιεί με ειδικό όργανο, του Πάππου που είναι πολύπλοκη, του Καρτεσίου, του Νεύτωνα που επινόησε και όργανο για την χάραξη της ≪Κισσοειδούς≫ με συνεχή
κίνηση, κ.α.

- Για την τριχοτόμηση γωνίας, έχουμε τις λύσεις: του Ιππία του Ηλείου που είναι και η πρώτη λύση, για την οποία χρησιμοποίησε νέα καμπύλη την ≪Τετραγωνίζουσα≫, του Αρχιμήδη (δύο λύσεις) που βασίσθηκε σε μια μέθοδο ≪νεύσης≫ και την ≪έλικά≫ του, του Νικοιιήδη (δύο λύσεις) με ≪νεύση≫, με την ≪Κογχοειδή≫ του και κατάλληλου οργάνου, του Πάππου (δύο λύσεις) με ≪νεύση≫ και με ≪κωνικές τομές≫, του Al Nasawi με ≪νεύση≫, του Pascal με τον ≪κοχλία≫ του, του Ceva με τις ≪ανώμαλες κυκλοειδείς≫ του, του Mac Laurin με τον ≪τριχοτόμο του≫, κ.α.

-Για τον τετραγωνισμό του κύκλου, έχουμε τις λύσεις: του Αρχιμήδη που την υλοποίησε με την ≪έλικα≫ του, του Νικομήδη με την βοήθεια της ≪ιδίας τετραγωνίζουσας≫ του,του Απολλώνιου με την χρήση της ≪Αδελφής της κοχλιοειδούς≫, του Καρτέσιου με μια νέα καμπύλη του, του Ιππία του Ηλείου με την τετραγωνίζουσα≫ του, κ.α.
Είναι γνωστό ότι με το πρόβλημα αυτό, στενά συνδεδεμένος είναι και ο αριθμός π. καθώς για την προσεγγιστική λύση του προβλήματος αυτού, αρκεί να υπολογισθεί το π. Για το λόγο αυτό η προσοχή των ερευνητών στράφηκε προς την κατεύθυνση αυτή και γι’ αυτό έγιναν μεγαλειώδεις σχετικές προσπάθειες. Έτσι, με τον υπολογισμό του π ασχολήθηκαν: Ο Αρχιμήδης που είναι πρωτεργάτης και που έδωσε ικανοποιητική προσέγγιση, ο Κλαύδιος Πτολεμαίος, ο Tsu Ch’ ung - Chin, ο Aryabhata, o Brahmagupta, o Bhaskara, o Al Kashi, κ.α.

Σήμερα είναι γνωστό ότι τα προβλήματα που δεν λύνονται Γεωμετρικά, ή που είναι άλυτα, είναι προβλήματα ανωτέρου βαθμού, μετατρεπόμενα σε αλγεβρικά, ενώ εκείνα που είναι ή ανάγονται σε προβλήματα 1ου και 2ου βαθμού, έχουν Γεωμετρικές λύσεις.
Έτσι, με βάση τα παραπάνω και με άλλες σύγχρονες αλγεβρικές κατακτήσεις, μόλις τον προπερασμένο αιώνα δόθηκαν οι αποδείξεις των παραπάνω τριών προβλημάτων, με αυστηρό αλγεβρικό τρόπο, ότι αυτά, δεν έχουν Γεωμετρικές λύσεις, ή ότι είναι αδύνατη η λύση τους.
Παρ’ όλα αυτά, τα παραπάνω τρία προβλήματα μέχρι τώρα μένουν ζωντανά και συνεχίζονται οι προσπάθειες για την γεωμετρική τους λύση.
Τα αποτελέσματα, όλων αυτών των προσπαθειών, ήταν και είναι πολύ επωφελή και παραγωγικά για την Γεωμετρία και τα Μαθηματικά γενικότερα, καθώς απ’ αυτές τις προσπάθειες, ανακαλύφθηκαν πολλές νέες καμπύλες και πολλά άλλα νέα όργανα χάραξής τους, όπως είδαμε παραπάνω. Ακόμη οι παραπάνω προσπάθειες, οδήγησαν σε έντονη ανάπτυξη της Γεωμετρίας και των Μαθηματικών, καθώςεπινοήθηκαν και πολλά άλλα καινούρια σχετικά στοιχεία.

Βιβλιογραφία
[1]. Νέα στοιχεία Γεωμετρίας, του Νίκου Κυριαζή*.
[2]. Περιοδικό Ευκλείδης Β΄, της ΕΜΕ.
[3].Η Γεωμετρία στην Αρχαία Ελλάδα του Δημ. Τσιμπουράκη. /size]

*[Ο κ. Ν. Κυριαζής είναι Ταξ/χος ε.α., γεννήθηκε στη Θουρία Καλαμάτας, κατοικεί και δημιουργεί στην Καλαμαριά, Τραπεζούντος 9, τηλ. 2310-413.539. Τελευταία (το 2002), όλα τα έργα του στην Ευκλείδεια Γεωμετρία βραβεύθηκαν από την Ακαδημία Αθηνών].