Λόγος από αναλογία

KARKAR · #1

: Λόγος από αναλογία.png (35.79 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι :

και

. Κατασκευάστε

ένα τέτοιο τρίγωνο και αν το

είναι το έγκεντρό του , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(EBC)}{(ABC)}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 02, 2026 10:30 am
Λόγος από αναλογία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : και . Κατασκευάστε

ένα τέτοιο τρίγωνο και αν το είναι το έγκεντρό του , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(EBC)}{(ABC)}$ .

Ένα τέτοιο τρίγωνο είναι το 5,12,13

, όπου εδώ x=6

. Γενικότερα αν

η άλλη κάθετος, τότε η δοθείσα συνθήκη δίνει CB=3x-y

. Άρα

από όπου $\boxed {y =\dfrac {5}{6}x}$ . Δηλαδή τρίγωνο με πλευρές $\dfrac{5}{6}x, \dfrac{12}{6}x, \dfrac{13}{6}x$ , που σημαίνει όμοιο με το προηγούμενο.

Για το δεύτερο σκέλος, ας το δούμε γενικότερα: Αν

η ακτίνα του εγγεγραμένου κύκλου είναι

$\dfrac{(EBC)}{(ABC)} = \dfrac{(EBC)}{(EBC)+(ECA)+(EAB)}= \dfrac{\frac {1}{2} r a}{\frac {1}{2} r a+ \frac {1}{2} r b+ \frac {1}{2} r c} = \dfrac{a}{a+b+c}$

εδώ $\dfrac{13}{13+12+5}= \dfrac{13}{30}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 02, 2026 10:30 am
Λόγος από αναλογία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : και . Κατασκευάστε

ένα τέτοιο τρίγωνο και αν το είναι το έγκεντρό του , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(EBC)}{(ABC)}$ .

Καλή χρονιά, , σε όλους.

: Λόγος απο αναλογία.png (17.06 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές

Από το Π. Θ. προκύπτει ότι : $a = 13k\,\,,\,\,b = 5k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 12k\,\,,\,\,k > 0$

Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι, r = s - a

, όπου

, έτσι

.

Ο λόγος που θέλω είναι : $\boxed{\frac{{ar}}{{bc}} = \frac{{13}}{{30}}}$

#4

Καλημέρα σε όλους.

: 02-01-2026 Γεωμετρία.png (8.47 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές

Έστω ότι το κατασκευάσαμε.

Θέτω x = 1

οπότε

.

Άρα $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \alpha + \gamma = 2\\ \alpha + 2\beta + \gamma = 3 \end{array} \right.\;,\;\left( {\mu \varepsilon \;\;\alpha ,\gamma < 2,\;\beta < 1} \right)\;\; \Rightarrow \beta = \frac{1}{2}$

$\displaystyle A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow {2^2} + {\left( {\gamma + \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{5}{2} - \gamma } \right)^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 4 + {\gamma ^2} + \gamma + \frac{1}{4} = \frac{{25}}{4} - 5\gamma + {\gamma ^2} \Leftrightarrow \gamma = \frac{1}{3} = r$ οπότε $\displaystyle \alpha = \frac{5}{3}$

Πλέον η κατασκευή είναι τετριμμένη. Παίρνουμε σε ορθή γωνία τμήματα AB = 2

και $\displaystyle BC = \frac{5}{6}$ .

$\displaystyle \frac{{\left( {BCE} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{BC \cdot DE}}{{AB \cdot AC}} = \frac{{\left( {\alpha + \beta } \right)\gamma }}{{2 \cdot \left( {\beta + \gamma } \right)}} = \frac{{\frac{{13}}{6} \cdot \frac{1}{3}}}{{2 \cdot \frac{5}{6}}} = \frac{{13}}{{30}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 02, 2026 10:30 am
Λόγος από αναλογία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : και . Κατασκευάστε

ένα τέτοιο τρίγωνο και αν το είναι το έγκεντρό του , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(EBC)}{(ABC)}$ .

Καλή χρονιά σε όλους...

Προεκτείνουμε την

κατά

κι έστω $DZ \bot AB$

Τότε BD=3x

και προφανώς η

διχοτομεί την $\angle ZDB$ άρα $\dfrac{m}{n} = \dfrac{c}{BD}= \dfrac{2x}{3x}= \dfrac{2}{3}=tan \theta$

$tan2 \theta = \dfrac{2tan \theta }{1-tan^2 \theta } \Rightarrow tan2 \theta =tanACB= \dfrac{12}{5}= \dfrac{2x}{b} \Rightarrow b= \dfrac{5x}{6} \Rightarrow a=3x- \dfrac{5x}{6}= \dfrac{13x}{6}$

Το τρίγωνο λοιπόν κατασκευάζεται εύκολα

Ισχύει $2(ABC)=a.h=2 \tau r\Rightarrow \dfrac{r}{h}= \dfrac{a}{2 \tau }= \dfrac{13}{30}= \dfrac{(BEC)}{(ABC)}$

: Λόγος από αναλογία.png (48.71 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές

Λόγος από αναλογία

Λόγος από αναλογία

Re: Λόγος από αναλογία

Re: Λόγος από αναλογία

Re: Λόγος από αναλογία

Re: Λόγος από αναλογία

Μέλη σε σύνδεση