Ανθρώπινη επαφή

[KARKAR]

Ανθρώπινη επαφή.png (19.24 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές

Στην πλευρά του - διαστάσεων - ορθογωνίου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε ο κύκλος :

, να εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου διαμέτρου . Αν το συμπέσει με το , βρείτε τον λόγο : .

[duamba]

Στην πλευρά του - διαστάσεων - ορθογωνίου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε ο κύκλος :
, να εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου διαμέτρου . Αν το συμπέσει με το , βρείτε τον λόγο : .

Φέρνω την διαγώνιο η οποία θα τμήσει τον κύκλο στο .
Φέρνω και την γραμμή (η οποία εντελώς τυχαία τέμνει την στο ) και έχω ως κατακορυφήν και ως εντός εναλλάξ.
Επειδή η ευθεία είναι το άθροισμα των ακτίνων των κύκλων και , το είναι σημείο επαφής.

Αν και απο το πυθαγόρειο θεώρημα έχω:

epafi.png (23.38 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

[Mihalis_Lambrou]

duamba, καλώς ήλθες στο φόρουμ.

'Εχω δύο σχόλια να κάνω.

Φέρνω την διαγώνιο η οποία θα τμήσει τον κύκλο στο .
Φέρνω και την γραμμή (η οποία εντελώς τυχαία τέμνει την στο )

Και τα δύο αυτά θέλουν εξήγηση: Είναι μεν σωστά αλλά πρέπει α) πρώτον να τεκμηριωθεί γιατί θα τμήσει τον κύκλο στο και β) δεύτερον να εξηγηθεί η φράση "εντελώς τυχαία τέμνει..." . Στα Μαθηματικά τεκμηρίωση με επιχείρημα ότι κάτι έγινε "τυχαία¨, δεν έχουν θέση.

Επίσης, θέλω να ρωτήσω αν γνωρίζεις ότι η άσκηση έχει και ένα πρώτο μέρος, που προσπεράστηκε.

[duamba]

Χαίρετε κ. Λάμπρου,

Ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις, ένας λόγος που ποστάρω εδώ είναι για να αναδειχθούν τα κενά που έχω στα μαθηματικά.
Η φράση "εντελώς τυχαία" ήταν μια χιουμοριστική πινελιά. Ως ερασιτέχνης επέτρεψα στον εαυτό μου την έλλειψη αυστηρότητας, όμως παρέβλεψα ότι ίσως να με διαβάζουν και μαθητές που έχουν να κάνουν με εξετάσεις.

Σχεδίασα την κατασκευή έτσι ώστε να απαντήσω στο δεύτερο ερώτημα και όντως έτσι προσπεράστηκε το πρώτο.
Το σημείο λοιπόν εντοπίζεται ακριβώς εκεί που τέμνει η την απέναντι πλευρά.

Ως προς το γιατί η θα τμήσει τον κύκλο, διαισθητικά η απάντηση που μου έρχεται είναι οτι η γωνία της διαγωνίου ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι πάντα μικρότερη απο και μεγαλύτερη απο όμως δεν μπορώ να σκεφτώ πρόχειρα κάποια απόδειξη.

[konargyr14]

Έστω ότι το πρόβλημα είναι λυμένο. Θεωρoύμε την κοινή εφαπτομένη του κύκλου και του ημικυκλίου διαμέτρου και έστω η τομή της με την πλευρά . Τότε είναι και αφού πρόκειται για κοινά εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου διαμέτρου και του κύκλου αντίστοιχα. Άρα το ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου . Συνεπώς το σημείο θα βρίσκεται στην τομή των ημικυκλίων διαμέτρου και και έτσι προσδιορίζουμε εύκολα την θέση του σημείου (φέρνοντας την μεσοκάθετο του ). Για το δεύτερο ερώτημα, αν το μέσον του , τότε τα κέντρα , των κύκλων και καθώς και το σημείο επαφής τους θα είναι συνευθειακά ( και συνευθειακά). Συνεχίζοντας παραπάνω όπως ο χρήστης duamba με Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ο ζητούμενος λόγος .
.

1.PNG (53.16 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές