Ευχάριστοι υπολογισμοί

KARKAR · #1

: Ευχάριστοι υπολογισμοί.png (20.78 KiB) Προβλήθηκε 940 φορές

Ο κύκλος

έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο (O ,4)

και τον τέμνει στα σημεία

και

.

Η εφαπτομένη του (O)

στο

, τέμνει τον (K)

στο

. Υπολογίστε το $\cos\theta$ και το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 07, 2023 8:22 pm
Ευχάριστοι υπολογισμοί.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο και τον τέμνει στα σημεία και .

Η εφαπτομένη του στο , τέμνει τον στο . Υπολογίστε το $\cos\theta$ και το τμήμα .

$\displaystyle \cos \theta = \cos (A\widehat KO) = \frac{{KN}}{{OK}} = \frac{{KA}}{{2OK}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos \theta = \frac{3}{8}}$

: Ευχάριστοι υπολογισμοί.png (20.94 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές

Προφανώς η

διχοτομεί τη γωνία $B\widehat AS,$ άρα AB=AS.

Εξάλλου,

$\displaystyle \sin \theta = \frac{{\sqrt {55} }}{8} = \frac{{AB}}{{2AK}} \Leftrightarrow AB = \frac{{3\sqrt {55} }}{4}$ και εύκολα πλέον $\boxed{SB =2AB\cos \theta= \frac{{9\sqrt {55} }}{{16}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 07, 2023 8:22 pm
Ευχάριστοι υπολογισμοί.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο και τον τέμνει στα σημεία και .

Η εφαπτομένη του στο , τέμνει τον στο . Υπολογίστε το $\cos\theta$ και το τμήμα .

α)Με

αντιδιαμετρικά του

στους δυο κύκλους ,προφανώς D,B,E

συνευθειακά και όλες οι κόκκινες γωνίες είναι $\theta$ και

$cos \theta = \dfrac{AK}{AD} = \dfrac{3}{8}$

β)Από Π.Θ στο τρίγωνο $AKD \Rightarrow DK= \sqrt{55}$

Λόγω ισότητας των γωνιών $\phi$ είναι $DK//BS \Rightarrow BS \bot AE \Rightarrow BS=2BZ$ . Επιπλέον , AD=DE=8

και

$EB.ED=EK.EA=18 \Rightarrow 8x=18 \Rightarrow x= \dfrac{9}{4}$ και

$\dfrac{BZ}{DK}= \dfrac{EB}{ED} \Rightarrow \dfrac{BZ}{ \sqrt{55} } = \dfrac{9}{32} \Rightarrow 2BZ=BS= \dfrac{9}{16} \sqrt{55}$

: ευχάριστοι υπολογισμοί.png (16.3 KiB) Προβλήθηκε 871 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 07, 2023 8:22 pm
Ευχάριστοι υπολογισμοί.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο και τον τέμνει στα σημεία και .

Η εφαπτομένη του στο , τέμνει τον στο . Υπολογίστε το $\cos\theta$ και το τμήμα .

Ας είναι

η τομή της

με τον κύκλο κέντρου

.

Επειδή τα $\vartriangle OKA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle TSA$ είναι όμοια το $\vartriangle TSA$ θα είναι κι αυτό ισοσκελές ( TA = TS

)

Αλλά $\widehat {\phi _{}^{}} = \widehat {\omega _{}^{}}$ (χορδής κι εφαπτομένης ) , οπότε: $\vartriangle OKA \approx \vartriangle ABS$ συνεπώς : $AS = 4m = AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB = 3m\,\,,\,\,m > 0$ .

: Ευχάριστοι υπολογισμοί.png (36.86 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

Μετά απ’ αυτά , Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle OKA$ και βρίσκω : $\boxed{\cos {a_2} = \cos \theta = \dfrac{3}{8}}$

ενώ το

είναι το διπλάσιο του ύψους , από το

,του $\vartriangle OKA$ .

Αλλά (τύπος Ήρωνα ) $\left( {OKA} \right) = \dfrac{{3\sqrt {55} }}{4} \Rightarrow AB = \left( {OKA} \right) = \dfrac{{3\sqrt {55} }}{4} = 4m$ , έτσι

$\boxed{SB = 3m = \dfrac{{9\sqrt {55} }}{{16}}}$

Ευχάριστοι υπολογισμοί

Ευχάριστοι υπολογισμοί

Re: Ευχάριστοι υπολογισμοί

Re: Ευχάριστοι υπολογισμοί

Re: Ευχάριστοι υπολογισμοί

Μέλη σε σύνδεση