Ορθογώνιο και όχι μόνο

#1

: Ορθογώνιο και όχι μόνο.png (8.67 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

Έστω

το περίκεντρο ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=AC)

και

το συμμετρικό του

ως προς την AC.

Από το

φέρνω παράλληλη στην

που τέμνει τη

στο

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle P\widehat OZ = 90^\circ$

β) Αν επιπλέον $\displaystyle \frac{a}{b} = \sqrt {2 - \sqrt 2 },$ να δείξετε ότι το POZ

εκτός από ορθογώνιο είναι και ισοσκελές.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 25, 2022 11:47 am
Ορθογώνιο και όχι μόνο.png
Έστω το περίκεντρο ισοσκελούς τριγώνου και το συμμετρικό του ως προς την

Από το φέρνω παράλληλη στην που τέμνει τη στο α) Να δείξετε ότι $\displaystyle P\widehat OZ = 90^\circ$

β) Αν επιπλέον $\displaystyle \frac{a}{b} = \sqrt {2 - \sqrt 2 },$ να δείξετε ότι το εκτός από ορθογώνιο είναι και ισοσκελές.

Στο τετράπλευρο AOCP

οι διαγώνιοι τέμνονται δίχα και κάθετα άρα είναι ρόμβος .

Ας είναι $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ οι τομές των : $AC\,\,,\,\,PZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB\,\,,OC$ .

Το $\vartriangle CPZ$ είναι ορθογώνιο στο

και άρα

, αλλά για κάθε

της

είναι ,

.

: ορθογώνιο και όχι μόνο.png (22.18 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

Έτσι $OM = MP = MZ \Rightarrow \widehat {OZP} = 90^\circ$ .

Θέτω $\widehat {BAC} = \theta \Rightarrow \widehat {MZO} = \theta$ ( το ATZM

παραλληλόγραμμο γάρ).

Αν τώρα επί πλέον , $\dfrac{a}{b} = \sqrt {2 - \sqrt 2 } \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{b} = \dfrac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } = \sin 22,5^\circ$ και άρα $\displaystyle \boxed{\theta = 45^\circ }$ .

Αυτό μας εγγυάται ότι το $\vartriangle OZP$ είναι και ισοσκελές.

Ορθογώνιο και όχι μόνο

Ορθογώνιο και όχι μόνο

Re: Ορθογώνιο και όχι μόνο

Μέλη σε σύνδεση