Έκταση

KARKAR · #1

: Έκταση.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 1082 φορές

Υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ του σχήματος .

Chagi · #2

Τελικά είχα αριθμητικό λάθος.

Ευχαριστώ τον χρήστη Doloros

για την επισήμανση.

Υ.Γ: Δε γνωρίζω με ποιον τρόπο να παραθέτω ακριβώς το nickname των χρηστών γι΄ αυτό προτίμησα να το γράψω σε Latex.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 13, 2018 11:53 am
Έκταση.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ του σχήματος .

: Έκταση_13_8_18.png (13.53 KiB) Προβλήθηκε 1053 φορές

Φέρνω το ύψος AT = x = TS

. Επειδή $A{T^2} = TB \cdot TC \Rightarrow {x^2} = (4 - x)(6 + x) \Rightarrow x = 3$

και άρα (ABC) = 15

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 13, 2018 11:53 am
Έκταση.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ του σχήματος .

: Έκταση.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 1026 φορές

$\displaystyle (ABC) = (ABS) + (ASC) = 2x\sin {45^0} + 3x\sin {135^0} \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC)=\frac{5x\sqrt 2}{2}}$ (1)

Ν. συνημιτόνων: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {b^2} = {x^2} + 36 + 6x\sqrt 2 \\ {c^2} = {x^2} + 16 - 4x\sqrt 2 \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{{b^2} + {c^2} = 100} 100 = 2{x^2} + 52 + 2x\sqrt 2 \Leftrightarrow {x^2} + x\sqrt 2 - 24 = 0$

απ' όπου παίρνουμε την δεκτή ρίζα $x=3\sqrt 2$ και από την (1),

$\boxed{(ABC)=15}$

Chagi · #5

Αναρτώ και τη λύση μου στην οποία δε χρειάζεται να συμπληρώσουμε κάτι πάνω στο ήδη υπάρχον σχήμα.

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ABS

έχουμε:

$AB^2=BS^2+AS^2-2BS\cdot AS\cos \frac{\pi}{4} \Rightarrow AB^2=16+AS^2-4\sqrt{2}AS$

Αντίστοιχα στο ASC

:

$AC^2=SC^2+AS^2-2AS\cdot SC\cos\frac{\pi}{4} \Rightarrow AC^2=36+AS^2+6\sqrt{2}AS$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις και επειδή το ABC

είναι ορθογώνιο στο

έχουμε:

$100=2AS^2+2\sqrt{2}+52 \Rightarrow AS^2+\sqrt{2}AS-24=0$ από την οποία παίρνουμε ότι $AS=3\sqrt{2}$

Τώρα ισχύει ότι $(ABS)=\frac{1}{2}SB\cdot SA\sin \frac{\pi}{4} \Rightarrow (ABS)=6$ και

$(ASC)=\frac{1}{2} AS\cdot SC\sin\frac{\pi}{4} \Rightarrow (ASC)=9$

Άρα (ABC)=15

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα. Ελαφρά παραλλαγή:

: Έκταση.PNG (6.02 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Ας είναι

μέσον της

, $AZ \perp BC$ και $\widehat{AOB}=\omega$ .Τότε $AZ=5\eta \mu \omega ...OZ=1+5\eta \mu \omega$

Με Π.Θ στο τρίγωνο AOZ

: $\left ( 5\eta \mu \omega \right )^{2}+\left ( 1+5\eta \mu \omega \right )^{2}=25$

με δεκτή (θετική) ρίζα $5\eta \mu \omega =3$ , άρα $\left ( ABC \right )=2\left ( AOB \right )=5\cdot 5\eta \mu \omega =15$ ..Φιλικά , Γιώργος

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 13, 2018 11:53 am
Έκταση.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ του σχήματος .

: Έκταση_13_8_18_αλλιώς.png (32.93 KiB) Προβλήθηκε 947 φορές

Γράφω το κύκλο διαμέτρου

κέντρου

που προφανώς διέρχεται από το

.

Στην ακτίνα

θεωρώ σημείο

, ώστε $BH = KS = 1 \Rightarrow HS = 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HK = 4$ .

Φέρνω κάθετη στη

στο

που τέμνει το κάτω ημικύκλιο στο

.

Επειδή $KZ = 5\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,KH = 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HZ \bot HK$ αναγκαστικά , HZ = 3

συνεπώς το

Ορθογώνιο τρίγωνο HZS

είναι και ισοσκελές . Μα τότε $\widehat {HSZ} = 45^\circ$ , δηλαδή το

είναι το συμμετρικό του

ως προς το

και επομένως το ύψος AH = 3

.

Προφανώς λοιπόν (ABC) = 15

.

Έκταση

Έκταση

Re: Έκταση

Re: Έκταση

Re: Έκταση

Re: Έκταση

Re: Έκταση

Re: Έκταση

Μέλη σε σύνδεση