Λόγος σε..ύψωμα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ όλους.

: 3-4-18 ..εις την τετάρτην.PNG (6.57 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

Θεωρούμε τρίγωνο ABC

και τον εγγεγραμμένο κύκλο του.
Τα $M\in AB ..N\in AC$ ώστε η MEN

να εφάπτεται του κύκλου στο

και να είναι $MEN \parallel BC$ .

Η EFH

είναι κάθετη στις MN, BC

στα

αντίστοιχα και τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

.

Αν είναι $\dfrac{FH}{FE}=k$ τότε 1) Να υπολογιστεί , σε σχέση με το , ο λόγος $\lambda = \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( MAN \right )}$

Αν μας δοθεί $k= sin \dfrac{\pi }{3}$ τότε 2) Να εξεταστεί αν ο $\lambda$ είναι μονοψήφιος φυσικός αριθμός.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Απρ 03, 2018 1:48 pm
Χαιρετώ όλους.
3-4-18 ..εις την τετάρτην.PNG
Θεωρούμε τρίγωνο και τον εγγεγραμμένο κύκλο του.
Τα $M\in AB ..N\in AC$ ώστε η να εφάπτεται του κύκλου στο και να είναι $MEN \parallel BC$ .

Η είναι κάθετη στις στα αντίστοιχα και τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου στο .

Αν είναι $\dfrac{FH}{FE}=k$ τότε 1) Να υπολογιστεί , σε σχέση με το , ο λόγος $\lambda = \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( MAN \right )}$

Αν μας δοθεί $k= sin \dfrac{\pi }{3}$ τότε 2) Να εξεταστεί αν ο $\lambda$ είναι μονοψήφιος φυσικός αριθμός.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλησπέρα!

Έστω

η περίμετρος του ABC

και

το ύψος του.

: Λόγος σε...ύψωμα.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

1) $\displaystyle k = \frac{{\sqrt {BF \cdot FC} }}{{2r}} = \frac{{\sqrt {(s - b)(s - c)} }}{{2r}} = \frac{{\dfrac{{(BAC)}}{{\sqrt {s(s - a)} }}}}{{2r}} = \frac{{sr}}{{2r\sqrt {s(s - a)} }} \Rightarrow {k^2} = \frac{s}{{4(s - a)}} \Leftrightarrow$

$\boxed{\dfrac{s}{{s - a}} = 4{k^2}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle \frac{{ah}}{2} = sr \Leftrightarrow h = \frac{{2rs}}{a}$ και $\displaystyle {h_1} = h - 2r = \frac{{2r(s - a)}}{a}.$

Άρα, $\displaystyle \frac{h}{{{h_1}}} = \frac{s}{{s - a}}\mathop = \limits^{(1)} 4{k^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{h}{{{h_1}}}} \right)^2} = 16{k^4} \Leftrightarrow \frac{{(BAC)}}{{(MAN)}} = 16{k^4} \Leftrightarrow$ $\boxed{\lambda=16k^4}$

2) $\displaystyle k = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow$ $\boxed{\lambda=9}$ μονοψήφιος φυσικός αριθμός.

Λόγος σε..ύψωμα

Λόγος σε..ύψωμα

Re: Λόγος σε..ύψωμα

Μέλη σε σύνδεση